Um compósito reforçado com fibra de vidro contínua e alinhada consiste de 40 \% em volume de fibras de vidro com um módulo de elasticidade de 69 \times 10^{3} \mathrm{MPa} e 60 \% de uma resina de poliéster que, quando curada, apresenta um módulo de 3,4 \times 10^{3} \mathrm{MPa}.
(a) Determine o módulo de elasticidade desse compósito na direção longitudinal.
(b) Se a área da seção transversal vale 258 \mathrm{~mm}^{2} e uma tensão de 48,3 MPa é aplicada na direção longitudinal, calcule o valor da carga suportada por cada uma das fases fibra e matriz.
(c) Determine a deformação sustentada por cada fase quando a tensão mencionada no item (b) é aplicada.
(d) Considerando resistências à tração de 3,5 \times 10^{3} e 69 MPa , respectivamente, para a fibra de vidro e para a resina de poliéster, determine a resistência à tração longitudinal desse compósito.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (a–d). Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\;V_f=40\% (fração volumétrica de fibras) \;=\;0{,}40.
\;V_m=60\% (fração volumétrica da matriz) \;=\;0{,}60.
\;E_f=69\times10^{3}\\ \mathrm{MPa}.
\;E_m=3{,}4\times10^{3}\\ \mathrm{MPa}.
(a) Determinar o módulo de elasticidade do compósito na direção longitudinal \;E_c.
(b) Dada a área da seção transversal \;A=258\\ \mathrm{mm}^2 e uma tensão longitudinal aplicada \;\sigma_c=48{,}3\\ \mathrm{MPa}, calcular a carga suportada por cada fase (fibra e matriz).
(c) Determinar a deformação (alongamento) sustentada por cada fase quando a tensão \;\sigma_c=48{,}3\\ \mathrm{MPa} é aplicada.
(d) Considerando resistências à tração \;\sigma_{f,\mathrm{ult}}=3{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{MPa} (fibra) e \;\sigma_{m,\mathrm{ult}}=69\\ \mathrm{MPa} (matriz), determinar a resistência à tração longitudinal do compósito (qual tensão do compósito provoca a primeira falha).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma direta e prática).
  • Regra das misturas na direção longitudinal (assumindo que fibras contínuas e alinhadas alongo da carga) controla o módulo equivalente: a hipótese é que as fases têm a mesma deformação longitudinal (isostrain). A fórmula é
E_c = V_f E_f + V_m E_m.
Aqui E_c é o módulo do compósito, V_f e V_m são as frações volumétricas da fibra e da matriz, e E_f,E_m são seus módulos individuais.
  • Relação tensão-deformação linear (lei de Hooke) para cada fase:
\sigma_i = E_i \varepsilon,
onde \sigma_i é a tensão na fase i (fibra ou matriz), E_i é o módulo da fase i e \varepsilon é a deformação comum (porque isostrain).
  • Área de cada fase na seção transversal: como as fibras estão alinhadas, a fração volumétrica equivale à fração da área transversal ocupada por cada fase. Assim:
A_f = V_f A,\qquad A_m = V_m A.
  • Carga em cada fase: \;P_i = \sigma_i A_i.
  • Para determinar a resistência última do compósito pela primeira falha: com o aumento da carga, as deformações são iguais; calcule as deformações de ruptura das fases ( \varepsilon_{i,\mathrm{ult}}=\sigma_{i,\mathrm{ult}}/E_i). A primeira falha ocorre na fase com menor \varepsilon_{i,\mathrm{ult}}. A tensão do compósito que produz essa deformação crítica é \sigma_{c,\mathrm{ult}} = E_c \varepsilon_{\text{crit}}.

Passo 3

(a) Calcular o módulo longitudinal E_c pela regra das misturas.
E_c = V_f E_f + V_m E_m.
Substituindo os números:
E_c = 0{,}40\cdot(69\times10^{3}) + 0{,}60\cdot(3{,}4\times10^{3})\\ \mathrm{MPa}.
Calculemos termo a termo:
0{,}40\cdot69{,}000 = 27{,}600\\ \mathrm{MPa}, \qquad 0{,}60\cdot3{,}400 = 2{,}040\\ \mathrm{MPa}.
Somando,
E_c = 27{,}600 + 2{,}040 = 29{,}640\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

(b) Primeiro encontramos a deformação comum \varepsilon quando a tensão do compósito é \sigma_c=48{,}3\\ \mathrm{MPa}. Pela definição de módulo equivalente:
\varepsilon = \frac{\sigma_c}{E_c}.
Substituindo:
\varepsilon = \frac{48{,}3}{29{,}640}\approx 1{,}629\times10^{-3}.
Agora as tensões em cada fase (pela lei de Hooke):
\sigma_f = E_f\varepsilon = 69{,}000\cdot(1{,}629\times10^{-3}) \approx 112{,}4\\ \mathrm{MPa},
\sigma_m = E_m\varepsilon = 3{,}400\cdot(1{,}629\times10^{-3}) \approx 5{,}538\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

(b) (continuação) Áreas das fases e cargas:
A_f = V_f A = 0{,}40\cdot258 = 103{,}2\\ \mathrm{mm}^2,
A_m = V_m A = 0{,}60\cdot258 = 154{,}8\\ \mathrm{mm}^2.
Cargas:
P_f = \sigma_f A_f \approx 112{,}4\cdot103{,}2 \approx 1{,}16\times10^{4}\\ \mathrm{N},
P_m = \sigma_m A_m \approx 5{,}538\cdot154{,}8 \approx 8{,}57\times10^{2}\\ \mathrm{N}.
(Verificação rápida: P_f+P_m\approx1{,}246\times10^{4}\\ \mathrm{N}, próximo de \sigma_c A = 48{,}3\cdot258=1{,}2461\times10^{4}\\ \mathrm{N} — coerente dentro de arredondamentos.)

Passo 6

(c) Deformação sustentada por cada fase: pela hipótese isostrain, ambas as fases têm a mesma deformação da peça:
\varepsilon_f=\varepsilon_m=\varepsilon=\frac{\sigma_c}{E_c}\approx 1{,}629\times10^{-3}.
Explicando em palavras: como as fibras e a matriz ficam “coladas” e alongam juntas sob carga longitudinal, a deformação é a mesma para ambas; as tensões diferem porque cada material tem um módulo diferente.

Passo 7

(d) Determinar a resistência à tração longitudinal do compósito (primeira falha).
  • Deformação de ruptura de cada fase:
\varepsilon_{f,\mathrm{ult}}=\frac{\sigma_{f,\mathrm{ult}}}{E_f}=\frac{3{,}5\times10^{3}}{69\times10^{3}}=\frac{3500}{69000}\approx 5{,}072\times10^{-2},
\varepsilon_{m,\mathrm{ult}}=\frac{\sigma_{m,\mathrm{ult}}}{E_m}=\frac{69}{3{,}400}\approx 2{,}029\times10^{-2}.
Comparando as duas deformações críticas temos \varepsilon_{m,\mathrm{ult}}<\varepsilon_{f,\mathrm{ult}}. Ou seja, a matriz atinge sua resistência primeiro (ela falha antes da fibra).
  • Portanto a falha do compósito ocorre quando a deformação do conjunto atinge \varepsilon_{m,\mathrm{ult}}. A tensão correspondente no compósito é
\sigma_{c,\mathrm{ult}} = E_c \varepsilon_{m,\mathrm{ult}} = E_c\cdot\frac{\sigma_{m,\mathrm{ult}}}{E_m}.
Substituindo:
\sigma_{c,\mathrm{ult}} = 29{,}640\cdot\frac{69}{3{,}400}\\ \mathrm{MPa}.
Calculemos:
\frac{29{,}640}{3{,}400}=8{,}7117647\quad\Rightarrow\quad\sigma_{c,\mathrm{ult}} \approx 8{,}7117647\cdot69 \approx 601{,}1\\ \mathrm{MPa}.
Assim a resistência longitudinal do compósito é cerca de 601\\ \mathrm{MPa}, controlada pela ruptura da matriz.

Resposta

(a) E_c = 29{,}640\\ \mathrm{MPa}
(b) P_f \approx 1{,}16\times10^{4}\\ \mathrm{N} \quad P_m \approx 8{,}57\times10^{2}\\ \mathrm{N}
(c) \varepsilon_f=\varepsilon_m=\varepsilon\approx 1{,}629\times10^{-3}
(d) \sigma_{c,\mathrm{ult}}\approx 601\\ \mathrm{MPa}

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