Um composto orgânico volátil (VOC) dissolvido em uma corrente aquosa é removido em um regenerador, usando 500 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de ar em contracorrente. A corrente a ser tratada tem uma razão mássica de VOC igual \mathrm{X}=0,1, sendo de 500 \mathrm{lb} / \mathrm{h} a vazão de água livre de soluto. A concentração de VOC na corrente tratada não deve exceder \mathrm{X}=0,005. Admitindo que a água é não volátil e que a solubilidade do ar é desprezível, determine: a) O número de estágios de equilíbrio. b) A razão mássica de VOC na corrente gasosa na saída do regenerador. Dados de equilíbrio líquido-vapor do sistema VOC- água nas condições de operação: \mathrm{Y}=1,5 \mathrm{X}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (peguei estes números do enunciado):
  • Pedido:
    • (a) Determinar o número de estágios de equilíbrio necessários no regenerador (contato gasoso-líquido em contracorrente).
    • (b) Determinar a razão mássica de VOC na corrente gasosa na saída do regenerador.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão mássica de ar (corrente gasosa): G=500\\ \mathrm{lb/h}.
    • Vazão mássica de água (solvente) livre de soluto: L=500\\ \mathrm{lb/h}.
    • Razão mássica (soluto/solvente) na alimentação líquida: X_{\text{in}}=0,1.
    • Razão mássica máxima permitida na corrente tratada (liquido saída): X_{\text{out}}=0,005.
    • Relação de equilíbrio (líquido–vapor) nas condições de operação: \;Y=1,5\,X.
    • Suposições do enunciado usadas explicitamente: a água é não volátil e a solubilidade do ar é desprezível (logo ar entra praticamente sem VOC: Y_{\text{in}} \approx 0).

Passo 2

Entendendo as variáveis e como vamos usá-las (explicação didática breve)
  • X é a razão mássica do VOC no líquido definida como massa de VOC por unidade de massa de solvente (água). Ex.: X=0,1 significa 0,1 lb de VOC por 1 lb de água.
  • Y é a razão mássica do VOC na fase gasosa, definida como massa de VOC por unidade de massa de gás seco (ar).
  • L é a vazão mássica do solvente (água) que aqui é dada como L=500\\ \mathrm{lb/h}. Em muitos problemas de absorção/stripping essa é tomada como vazão do solvente (excluindo a massa do soluto) e tratamos L como constante ao longo das etapas.
  • G é a vazão mássica do gás seco, aqui G=500\\ \mathrm{lb/h}, também constante.
  • A equação de equilíbrio linear \;Y=1,5\,X (onde 1{,}5 é a inclinação) relaciona, em cada estágio de equilíbrio, a composição do vapor que sai do estágio com a composição do líquido que sai do mesmo estágio.
Estratégia resumida que vamos usar:
  1. Fazer o balanço global de soluto para obter a composição do gás que sai no topo ( Y_{\text{out}}). Isso responde a (b) diretamente.
  2. Traçar (conceitualmente) a reta de operação do processo e a curva de equilíbrio \,Y=1{,}5X. Em problemas de pratos teóricos, o número de estágios é obtido pelo método de McCabe–Thiele (degraus entre reta de operação e curva de equilíbrio). Como temos retas simples, faremos o procedimento numérico equivalente (passo a passo horizontal/vertical) para contar quantos estágios são necessários até atingir X_{\text{out}}.

Passo 3

Balanço global de soluto (para obter Y_{\text{out}}) — dedução detalhada
  • Considere o balanço de massa do soluto sobre toda a coluna em regime estacionário. A soma do soluto que sai nas correntes que deixam a coluna é igual à soma do soluto que entra:
    G\,Y_{\text{in}} + L\,X_{\text{in}} = G\,Y_{\text{out}} + L\,X_{\text{out}}.
    Aqui Y_{\text{in}} é a concentração de VOC no ar na entrada (inferior) do regenerador. O enunciado diz que a solubilidade do ar é desprezível e usualmente ar entra praticamente sem VOC, então usamos
    Y_{\text{in}} \approx 0.
  • Isolando Y_{\text{out}}:
    Y_{\text{out}} = \frac{L\,X_{\text{in}} - L\,X_{\text{out}}}{G} = \frac{L}{G}\left(X_{\text{in}} - X_{\text{out}}\right).
  • Substituindo os valores (todos números escritos em TeX):
    Y_{\text{out}} = \frac{500}{500}\left(0,1 - 0,005\right) = 1\cdot 0,095 = 0,095.
Interpretação rápida: o ar sai enriquecido em VOC com razão mássica \,Y_{\text{out}}=0{,}095 (ou seja, 0{,}095 lb VOC por lb de ar) — isto responde o item (b), mas vamos manter esse valor para usar no método de estágios.

Passo 4

Derivando a reta de operação para o processo (explicação e fórmula)
  • A reta de operação relaciona Y e X para as correntes internas quando as vazões L e G são constantes. Ela é obtida do balanço global reescrito em forma local (linear):
    G\,Y + L\,X = \text{constante}.
    No nosso caso a constante pode ser obtida avaliando no ponto de saída superior (topo) ou inferior. Usando a forma conveniente com Y_{\text{in}}=0 e X_{\text{out}} conhecido, a reta de operação pode ser escrita como
    Y = Y_{\text{in}} + \frac{L}{G}\left(X - X_{\text{out}}\right).
    Como Y_{\text{in}}=0 e L/G=500/500=1, obtemos a reta de operação numérica:
    Y = X - 0,005.
  • A curva de equilíbrio é
    Y = 1{,}5\,X.
  • Visualizando (mentalmente): em um diagrama Y versus X, temos duas retas:
    • reta de equilíbrio com inclinação 1{,}5,
    • reta de operação com inclinação 1 e intercepto -0{,}005.
      O método de McCabe–Thiele consiste em alternar movimentos horizontais até a curva de equilíbrio e movimentos verticais até a reta de operação, contando quantas vezes fazemos isso desde X_{\text{in}}=0{,}1 até atingir X_{\text{out}}=0{,}005.

Passo 5

Explicando o passo-a-passo numérico (McCabe–Thiele em forma algébrica) — como executar na prova sem desenhar
  • Procedimento prático:
    1. Comece no ponto sobre a reta de operação correspondente a X=X_{\text{in}}=0{,}1. O valor de Y nesse ponto é Y_{\text{op}}(X_{\text{in}})=X_{\text{in}}-0{,}005.
    2. Mova-se horizontalmente até a curva de equilíbrio: isto significa encontrar X tal que Y_{\text{equil}}=1{,}5\,X = Y_{\text{op}} (ou seja, X = Y_{\text{op}}/1{,}5). O X obtido é a composição do líquido que sai do primeiro estágio (descendo).
    3. A seguir, mova-se verticalmente até a reta de operação: isto significa avaliar Y_{\text{op}} no novo X (ou seja, Y_{\text{op}} = X - 0{,}005).
    4. Repita os passos 2–3 até que o X calculado após um movimento horizontal seja menor ou igual a X_{\text{out}}=0{,}005. Cada par (horizontal→vertical) corresponde a um estágio teórico. Conte quantos horizontais (ou estágios) foram necessários.
  • Vamos aplicar isso numericamente com precisão suficiente para fazer na prova sem calculadora complicada (só divisões simples).

Passo 6

Execução numérica dos degraus (cálculos detalhados) — cada linha mostra um estágio
Dados fixos usados em cada cálculo: \;m=1{,}5 e reta de operação \;Y=X-0,005.
  • Inicial: X_0 \equiv X_{\text{in}} = 0,1.
    • Ponto sobre a reta de operação: Y_0 = X_0 - 0,005 = 0,095.
    • Mover horizontal até equilíbrio: achar X_1 tal que 1{,}5\,X_1 = Y_0: X_1 = \frac{Y_0}{1{,}5} = \frac{0,095}{1{,}5} = 0,063333\ldots
    (Este é o líquido que sai do 1.º estágio.)
  • Estágio 2:
    • Avaliar reta de operação em X_1: Y_1 = X_1 - 0,005 = 0,063333\ldots - 0,005 = 0,058333\ldots
    • Horizontal até equilíbrio: X_2 = \dfrac{Y_1}{1{,}5} = \dfrac{0,058333\ldots}{1{,}5} = 0,038888\ldots
  • Estágio 3:
    • Y_2 = X_2 - 0,005 = 0,038888\ldots - 0,005 = 0,033888\ldots
    • X_3 = \dfrac{Y_2}{1{,}5} = \dfrac{0,033888\ldots}{1{,}5} = 0,02259259\ldots
  • Estágio 4:
    • Y_3 = X_3 - 0,005 = 0,02259259\ldots - 0,005 = 0,01759259\ldots
    • X_4 = \dfrac{Y_3}{1{,}5} = \dfrac{0,01759259\ldots}{1{,}5} = 0,011728395\ldots
  • Estágio 5:
    • Y_4 = X_4 - 0,005 = 0,011728395\ldots - 0,005 = 0,006728395\ldots
    • X_5 = \dfrac{Y_4}{1{,}5} = \dfrac{0,006728395\ldots}{1{,}5} = 0,0044855967\ldots
Observação importante: após o quinto passo horizontal obtemos X_5 \approx 0,00449 que é menor que o objetivo X_{\text{out}}=0,005. Isso significa que com 5 estágios teóricos o líquido descendo atinge (ou fica abaixo de) a composição permitida.

Passo 7

Contagem de estágios e interpretação final
  • Cada par (horizontal até equilíbrio seguido de vertical até operação) representa um estágio teórico. Ao executar os passos acima obtivemos que, a partir de X_{\text{in}}=0,1, são necessários exatamente 5 horizontais (ou seja, 5 estágios teóricos) para que a composição do líquido que desce fique abaixo de X_{\text{out}}=0,005.
  • Portanto o número mínimo de estágios de equilíbrio necessários é 5.
  • Quanto à razão mássica do VOC na corrente gasosa na saída do regenerador, calculamos pelo balanço global no Passo 3:
    Y_{\text{out}} = 0,095.

Resposta

(a) 5 estágios teóricos.
(b) Y_{\text{saída}}=0,095í

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