Um compressor alternativo de três estágios é utilizado para comprimir 180 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{min} ( 306 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} ) de metano de 14 a 900 \mathrm{lb}_{\mathrm{r}} / \mathrm{in}^{2}(0,95 a 61,3 \mathrm{~atm}) abs. A temperatura de entrada é de 26,8^{\circ} \mathrm{C}\left(80^{\circ} \mathrm{F}\right). Para a faixa de temperatura esperada, as propriedades médias do metano são:
C_{P}=9,3 \mathrm{Btu} / \mathrm{lbmol}{ }^{\circ} \mathrm{F}\left(38.9 \mathrm{~J} / \mathrm{gmol}^{\circ} \mathrm{C}\right), \quad \gamma=1.31
(a) Qual é a potência do compressor se a eficiência mecânica for de 80 \% ?
(b) Qual é a temperatura de descarga da primeira fase?
(c) Se a temperatura da água do sistema de resfriamento aumentar 20^{\circ} \mathrm{F} \left(-6,67^{\circ} \mathrm{C}\right), quanta água é necessária nos resfriadores e pós resfriadores para que o gás comprimido deixe cada resfriador a 80^{\circ} \mathrm{F}\left(26,7^{\circ} \mathrm{C}\right) ? Assumir que o resfriamento da camisa é suficiente para absorver o calor de atrito.

Passo 1

O enunciado descreve a compressão de metano em três estágios de forma isentrópica, com intercooling perfeito até a temperatura de entrada \bigl(80^\circ\mathrm{F}\bigr) entre os estágios. Vamos usar:
– Equação de gás ideal para obter a vazão molar.
– Trabalho isentrópico por estágio com \gamma=1,31 e R=1,987\;\mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\,\!^\circ\mathrm{R}).
– Conversão de Btu/h em hp e ajuste pela eficiência mecânica de 80\%.
– Cálculo de temperatura de descarga do primeiro estágio e carga de refrigeração para abaixar o gás a 80^\circ\mathrm{F}.

Passo 2

Determinar a razão de pressão por estágio, supondo P_1=14\;\mathrm{psia} e P_4=900\;\mathrm{psia}:
\mathrm{pr} \;=\;\bigl(P_4/P_1\bigr)^{1/3} \;=\;(900/14)^{1/3} \;\approx\;4{,}01.

Passo 3

Cálculo do trabalho isentrópico por mol de gás em cada estágio. A fórmula é
w_{\rm is} =\frac{\gamma}{\gamma-1}\,R\,T_1\Bigl(\mathrm{pr}^{(\gamma-1)/\gamma}-1\Bigr).
Aqui T_1=80^\circ\mathrm{F}=80+459{,}67=539{,}67\,^\circ\mathrm{R}. Logo,
\begin{aligned} \frac{\gamma}{\gamma-1}&=\frac{1{,}31}{0{,}31}\approx4{,}2258,\\\ \mathrm{pr}^{(\gamma-1)/\gamma} &=4{,}01^{0{,}31/1{,}31} \approx1{,}3894,\\\ w_{\rm is} &=4{,}2258\times1{,}987\times539{,}67 \times(1{,}3894-1) \approx1\,765\;\mathrm{Btu}/\mathrm{lbmol}. \end{aligned}

Passo 4

Determinar a vazão molar usando a equação dos gases ideais em regime métrico-imperial:
\dot n =\frac{P_1\,\dot V}{R\,T_1} =\frac{14\;\mathrm{psia}\;\times180\;\mathrm{ft^3/min}} {1{,}987\;\mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\,\!^\circ\mathrm{R})\;\times539{,}67\;^\circ\mathrm{R}} \approx0{,}424\;\mathrm{lbmol/min}.
O trabalho total ideal por minuto é
\dot W_{\rm ideal} =3\times\dot n\times w_{\rm is} =3\times0{,}424\times1\,765 \approx2\,245\;\mathrm{Btu/min} \;\widehat{=}\;134\,700\;\mathrm{Btu/h}.
Ajustando pela eficiência mecânica \eta_m=0{,}80:
\dot W_{\rm real} =\frac{134\,700}{0{,}80} \approx168\,400\;\mathrm{Btu/h} \;\longrightarrow\; \frac{168\,400}{2\,545} \approx66{,}2\;\mathrm{hp} \;\approx49{,}4\;\mathrm{kW}.

Passo 5

Temperatura de descarga do primeiro estágio pela relação isentrópica:
T_2 =T_1\;\mathrm{pr}^{(\gamma-1)/\gamma} =539{,}67\times1{,}3894 \approx750{,}3\;^\circ\mathrm{R} \;\Longrightarrow\; T_2-459{,}67 \approx290{,}6\;^\circ\mathrm{F} \;(\approx143{,}7\;^\circ\mathrm{C}).

Passo 6

Carga de refrigeração em cada intercooler (da descarga a 80^\circ\mathrm{F}), usando C_p=9{,}3\;\mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\,\!^\circ\mathrm{F}):
\Delta T=290{,}6-80=210{,}6\;^\circ\mathrm{F}, \qquad \dot Q_1 =\dot n\,C_p\,\Delta T =0{,}424\times9{,}3\times210{,}6 \approx831{,}4\;\mathrm{Btu/min}.
Como há três refrigerações idênticas (dois intercoolers + pós-resfriador),
\dot Q_{\rm total} =3\times831{,}4 \approx2\,494{,}2\;\mathrm{Btu/min}.

Passo 7

Se a água do resfriamento sofrer um aquecimento de 20^\circ\mathrm{F} e C_{p,\mathrm{água}}=1\;\mathrm{Btu}/(\mathrm{lb}\,\!^\circ\mathrm{F})á, a vazão mássica de água necessária é
\dot m_{\rm H_2O} =\frac{\dot Q_{\rm total}}{\Delta T_{\rm água}} =\frac{2\,494{,}2}{20} \approx124{,}7\;\mathrm{lb/min} \;\widehat{=}\;7\,482\;\mathrm{lb/h}.á
Convertendo para gpm ( 1\;\mathrm{gal}\approx8{,}33\;\mathrm{lb}):
\frac{124{,}7}{8{,}33} \approx15{,}0\;\mathrm{gpm}
ou cerca de 3{,}4\;\mathrm{m^3/h}. Cada cooler/intercooler pede cerca de 5{,}0\;\mathrm{gpm} de água.

Resposta

(a) 66{,}2\;\mathrm{hp} ( \approx49{,}4\;\mathrm{kW}).
(b) T_{2,1}=290{,}6^\circ\mathrm{F} ( \approx143{,}7^\circ\mathrm{C}).
(c) Vazão de água total \approx15{,}0\;\mathrm{gpm} ( \approx3{,}4\;\mathrm{m^3/h}), ou \approx5{,}0\;\mathrm{gpm} por cooler.

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