Um compressor de ar de único estágio operando em regime permanente recebe 1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de ar a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar. O ar passa pelo compressor, com eficiência isentrópica de 80 \%, até uma pressão de 9 bar. O compressor perde 2% da potência consumida na forma de calor, que passa por uma fronteira a 60^{\circ} \mathrm{C}. O estado morto está a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar, e efeitos de energia cinética e potencial podem ser desprezados. Determine:
a. A potência consumida, em hp; [5 pts]
b. A taxa de geração de entropia do compressor; [10 pts]
c. A exergia associada ao calor; [5 pts]
d. A exergia associada ao trabalho; [5 pts]
e. A exergia associada ao fluxo; [10 pts]
f. A exergia destruida. [5 pts]

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (vou listar TUDO que o enunciado dá, para ficar claro o que precisamos achar):
\text{Vazão volumétrica: } \dot V = 1{,}0\\ \mathrm{m^{3}/s}ãé
\text{Estado de entrada do ar: } T_{1}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K},\; p_{1}=1\\ \mathrm{bar}=100\\ \mathrm{kPa}
\text{Pressão de saída: } p_{2}=9\\ \mathrm{bar}=900\\ \mathrm{kPa}ãí
\text{Eficiência isentrópica do compressor: } \eta_{c}=0{,}80êó
\text{O compressor perde }2\%\text{ da potência consumida como calor que atravessa uma fronteira a }60^\circ\mathrm{C}=333{,}15\\ \mathrm{K}ê
\text{Estado morto: } T_{0}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K},\; p_{0}=1\\ \mathrm{bar}
Efeitos cinéticos e potenciais desprezíveis. O ar será tratado como gás ideal com propriedades constantes (valores usuais):
c_{p}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)},\quad R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)},\quad k=\frac{c_p}{c_v}\approx1{,}4.
O que é pedido:
a) potência consumida (em hp);
b) taxa de geração de entropia do compressor ( \dot S_{gen});
c) exergia associada ao calor perdido;
d) exergia associada ao trabalho;
e) exergia associada ao fluxo (variação de exergia do fluido);
f) exergia destruída.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a vazão mássica de ar a partir da vazão volumétrica. Usamos a equação do gás ideal para obter o volume específico na entrada:
v_{1}=\frac{R\,T_{1}}{p_{1}}.
Substituindo:
v_{1}=\frac{0{,}287\cdot 293{,}15}{100}=0{,}84134\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Logo a vazão mássica é
\dot m=\frac{\dot V}{v_{1}}=\frac{1{,}0}{0{,}84134}=1{,}18857\\ \mathrm{kg/s}.
Expliquei: v_{1} é o volume por kg de ar na entrada; dividimos a vazão volumétrica por ele para obter kg/s.

Passo 3

Agora vamos obter a temperatura isentrópica de saída T_{2s} e a temperatura real T_{2}. Para compressão isentrópica de gás ideal:
T_{2s}=T_{1}\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)^{\frac{k-1}{k}}.
Calculemos:
\frac{k-1}{k}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714,
T_{2s}=293{,}15\cdot 9^{0{,}285714}=549{,}26\\ \mathrm{K}\\ (\text{aprox.}).
Definição de eficiência isentrópica do compressor (explicando bem): a eficiência isentrópica é a razão entre o trabalho ideal (isentrópico) e o trabalho real. Em termos de temperaturas (para gás ideal e cp constante):
\eta_{c}=\frac{h_{2s}-h_{1}}{h_{2}-h_{1}}=\frac{c_{p}(T_{2s}-T_{1})}{c_{p}(T_{2}-T_{1})}=\frac{T_{2s}-T_{1}}{T_{2}-T_{1}}.
Isolando T_{2}:
T_{2}=T_{1}+\frac{T_{2s}-T_{1}}{\eta_{c}}.
Substituindo números:
T_{2}=293{,}15+\frac{549{,}26-293{,}15}{0{,}80}=613{,}28\\ \mathrm{K}.
Interpretação: a temperatura real é maior que a isentrópica por causa das irreversibilidades.

Passo 4

Calcular o aumento de entalpia por unidade de massa (assumindo h=c_p T com c_p constante):
\Delta h = c_{p}(T_{2}-T_{1})=1{,}005\cdot(613{,}28-293{,}15)=321{,}7319\\ \mathrm{kJ/kg}.
A taxa de energia que vai para o fluido (potência entregue ao ar) é
\dot W_{f}=\dot m\,\Delta h =1{,}18857\cdot 321{,}7319=382{,}38\\ \mathrm{kW}.
Agora atenção importante (isto é crucial e costuma confundir): o enunciado diz que o compressor “perde 2% da potência consumida na forma de calor”. Isso significa que a potência elétrica/entrada total \dot W_{c} é tal que 2\% dela sai como calor e o restante, 98\%, vai para o fluido:
0{,}98\,\dot W_{c}=\dot W_{f}\quad\Rightarrow\quad \dot W_{c}=\frac{\dot W_{f}}{0{,}98}.
Portanto
\dot W_{c}=\frac{382{,}38}{0{,}98}=390{,}00\\ \mathrm{kW}.
A perda de calor (magnitudo) é
\dot Q_{loss}=0{,}02\,\dot W_{c}=7{,}800\\ \mathrm{kW}.
Convenção de sinais que usarei: \dot Q será positivo quando o calor entra no sistema; aqui o calor sai, logo \dot Q=-7{,}800\\ \mathrm{kW} se for necessário usar o sinal.

Passo 5

Resposta (a) — converter para hp. Lembrete: 1\\ \mathrm{hp}=0{,}7457\\ \mathrm{kW}. Então
\dot W_{c} = 390{,}00\\ \mathrm{kW} \quad\Rightarrow\quad \dot W_{c\,(hp)}=\frac{390{,}00}{0{,}7457}=523{,}1\\ \mathrm{hp}\\ (\text{aprox.}).
Explicação curta: é a potência elétrica/consumida pelo compressor.

Passo 6

Calcular a variação específica de entropia do ar entre 1 e 2. Para gás ideal com c_p constante:
s_{2}-s_{1}=c_{p}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)-R\ln\!\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right).
Substituindo:
s_{2}-s_{1}=1{,}005\ln\!\left(\frac{613{,}28}{293{,}15}\right)-0{,}287\ln(9)=0{,}11205\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}.
A taxa de aumento de entropia do fluido é
\dot m\,(s_{2}-s_{1})=1{,}18857\cdot 0{,}11205=0{,}13311\\ \mathrm{kW/K}\\ =0{,}13311\\ \mathrm{kJ/(s\;K)}.

Passo 7

Agora a taxa de geração de entropia do compressor. Usamos o balanço de entropia em regime permanente para um volume de controle:
0=\sum \frac{\dot Q_{k}}{T_{k}}+\sum_{\text{in}}\dot m s_{\text{in}}-\sum_{\text{out}}\dot m s_{\text{out}}+\dot S_{gen}.
Rearranjando para \dot S_{gen} (uma forma prática):
\dot S_{gen}=\dot m\,(s_{2}-s_{1})-\sum_{k}\frac{\dot Q_{k}}{T_{k}}.
Aqui existe apenas um fluxo de calor, para fora, na temperatura da fronteira T_{b}=333{,}15\\ \mathrm{K}. Como o calor sai, \dot Q=-7{,}800\\ \mathrm{kW}. Então
\frac{\dot Q}{T_{b}}=\frac{-7{,}800}{333{,}15}=-0{,}023405\\ \mathrm{kW/K}.
Portanto
\dot S_{gen}=0{,}13311 - (-0{,}023405)=0{,}15652\\ \mathrm{kW/K}=0{,}15652\\ \mathrm{kJ/(s\;K)}.
Em unidades mais familiares: \dot S_{gen}=156{,}52\\ \mathrm{W/K}.
Comentário motivacional: é normal que \dot S_{gen}>0; se desse negativo, algo estaria errado.

Passo 8

Exergia associada ao calor perdido (parte c). Fórmula (para um fluxo de calor que atravessa a fronteira a temperatura T_{b}):
\dot X_{Q}=\left(1-\frac{T_{0}}{T_{b}}\right)\dot Q,
onde \dot Q é positivo para calor entrando no sistema (aqui \dot Q=-7{,}800\\ \mathrm{kW}). Calculemos o fator:
1-\frac{T_{0}}{T_{b}}=1-\frac{293{,}15}{333{,}15}=0{,}12003.
Logo
\dot X_{Q}=0{,}12003\cdot(-7{,}800)=-0{,}9361\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: -0{,}9361\\ \mathrm{kW} indica que 0,9361 kW de exergia saem do sistema junto com o calor (ou seja, essa é a exergia associada ao calor perdido). Se preferir o valor absoluto: 0{,}9361\\ \mathrm{kW} de exergia são transportados para fora pelo fluxo de calor.

Passo 9

Exergia associada ao trabalho (parte d). Observação conceitual: trabalho shaft (ou energia elétrica convertida em trabalho) é forma totalmente convertível em trabalho útil, portanto sua exergia é numericamente igual à potência fornecida:
\dot X_{W}=\dot W_{c}=390{,}00\\ \mathrm{kW}.
Explicação curta: trabalho é exergia pura (não multiplica o fator térmico).

Passo 10

Exergia associada ao fluxo (parte e): definimos a exergia específica de fluxo (exergia de corrente) como
\psi = (h-h_{0})-T_{0}(s-s_{0}),
com h=c_{p}T e s dado antes. A taxa de exergia transportada pela corrente é \dot m\,\psi. Calculamos para entrada e saída.
Entrada: T_{1}=T_{0} e p_{1}=p_{0} (estado morto), logo
\psi_{1}=0\quad\Rightarrow\quad \dot m\,\psi_{1}=0.
Saída:
\psi_{2}=c_{p}(T_{2}-T_{0})-T_{0}\big[c_{p}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{0}}\right)-R\ln\!\left(\frac{p_{2}}{p_{0}}\right)\big].
Substituindo e calculando:
\psi_{2}=1{,}005(613{,}28-293{,}15)-293{,}15\big[1{,}005\ln\!\left(\frac{613{,}28}{293{,}15}\right)-0{,}287\ln(9)\big]=288{,}88\\ \mathrm{kJ/kg}.
A taxa de exergia transportada pelo fluxo de saída é
\dot X_{flow}=\dot m\,\psi_{2}=1{,}18857\cdot 288{,}88=343{,}21\\ \mathrm{kW}.
Como a entrada tem exergia zero, esta é a variação de exergia do fluido (exergia associada ao fluxo).

Passo 11

Exergia destruída (parte f). Fórmula direta (segunda lei ligada à exergia): a exergia destruída é
\dot X_{dest}=T_{0}\,\dot S_{gen}.
Usando o resultado do Passo 7:
\dot X_{dest}=293{,}15\cdot 0{,}15652=45{,}90\\ \mathrm{kW}.
Verificação alternativa (balanço de exergia em regime permanente):
\sum \dot m\psi_{in} + \sum\left(1-\frac{T_{0}}{T_{k}}\right)\dot Q_{k} + \dot W_{c} = \sum \dot m\psi_{out} + \dot X_{dest}.
Substituindo (checar para coerência numérica):
0 + (-0{,}9361) + 390{,}00 = 343{,}21 + \dot X_{dest} \quad\Rightarrow\quad \dot X_{dest}\approx 45{,}83\\ \mathrm{kW},
que é coerente (diferenças pequenas devido a arredondamentos); portanto \dot X_{dest}\approx 45{,}90\\ \mathrm{kW}.

Resposta

(a) \;523{,}1\\ \mathrm{hp}.\n
(b) \;\dot S_{gen}=0{,}15652\\ \mathrm{kW/K}=156{,}52\\ \mathrm{W/K}.\n
(c) \;\dot X_{Q}=-0{,}9361\\ \mathrm{kW} (ou seja, 0{,}9361\\ \mathrm{kW} de exergia saem com o calor).\n
(d) \;\dot X_{W}=\dot W_{c}=390{,}00\\ \mathrm{kW}.\n
(e) \;\dot X_{flow}=\dot m\,\psi_{2}=343{,}21\\ \mathrm{kW}.\n
(f) \;\dot X_{dest}=T_{0}\dot S_{gen}=45{,}90\\ \mathrm{kW}.

Exercícios relacionados