Determine a potência necessária para uma bomba hidráulica operando em regime permanente elevar
de água a uma temperatura de
e 1 bar de pressło (diâmetro na entrada de
) até a condiçło desejada de saída de 5,45bar (diâmetro na saida de 2"). Leve em consideração as velocidades de entrada e saída, com base no diâmetro da tubulaçăo. A eficiência isentrópica da bomba é de 73%, e a mesma perde 1% da poténcia consumida na forma de calor, que passa pela fronteira que está a
. O estado morto está a
e 1 bar, e efeitos de energia potencial podem ser desprezados. Determine:
a. A potência consumida, em hp [5 pts]
b. A taxa de geração de entropia da bomba; [10 pts]
c. A exergia associada ao calor; [5 pts]
d. A exergia associada ao trabalho; [5 pts]
e. A exergia associada ao fluxo; [10 pts]
f. A exergia destruida. [5 pts]
Resposta:
hp
a. A potência consumida, em hp [5 pts]
b. A taxa de geração de entropia da bomba; [10 pts]
c. A exergia associada ao calor; [5 pts]
d. A exergia associada ao trabalho; [5 pts]
e. A exergia associada ao fluxo; [10 pts]
f. A exergia destruida. [5 pts]
Passo 1
O enunciado pede várias quantidades para uma bomba em regime permanente que eleva água de 1 bar e
para
bar, com vazão volumétrica
. Dados e pedidos (lista clara):
- Vazão volumétrica:
. - Temperatura e pressão de entrada:
, . - Pressão de saída desejada:
. - Diâmetro na entrada:
. - Diâmetro na saída:
. - Eficiência isentrópica da bomba:
. - A bomba perde
da potência consumida como calor que atravessa a fronteira à temperatura . - Estado morto (referência para exergia):
e . - Desprezar energia potencial.
- Pedidos:
(a) potência consumida em;
(b) taxa de geração de entropia da bomba;
(c) exergia associada ao calor (taxa);
(d) exergia associada ao trabalho (taxa);
(e) exergia associada ao fluxo (taxa, variação entre saída e entrada);
(f) exergia destruída (taxa).
Observações relevantes extraídas do enunciado: considerar velocidades de entrada/saída com base nos diâmetros (ou seja, incluir a variação de energia cinética), água líquida (usar aproximações de líquido incompressível), a perda de
é referente à potência consumida total e sai como calor pela fronteira à
.
Passo 2
Transformações de unidades e quantidades básicas (muito importante, vamos passo a passo):
- Converter vazão volumétrica:
- Áreas nas seções (cilíndricas):
.
- Velocidades média (pela continuidade
):
- Energia cinética específica (
):
-
Densidade e volume específico da água em
: para líquido usamos (tabela usual) e . -
Vazão mássica:
- Diferença de pressão:
Essas quantidades são usadas depois nas fórmulas de energia e entropia. Até aqui transformamos o problema em números prontos para aplicar fórmulas termodinâmicas.
Passo 3
Potência hidráulica ideal requerida para elevar a água (trabalhando com líquido quase incompressível):
- Aumento de entalpia específico ideal (aproximação para líquido):
Explicação didática: para líquidos a variação de entalpia associada ao aumento de pressão é muito bem aproximada por
(porque
e para um processo quase isentrópico a contribuição de
é pequena). Aqui
é o volume específico (
),
em
; produto dá
.
Calculemos:
- Potência associada ao aumento de entalpia (hidráulica ideal):
- Potência associada à variação de energia cinética:
- Potência ideal total necessária (isentrópica), incluindo cinética:
Comentário: este
é a potência mínima (ideal) que precisaria entrar na água para produzir as elevações de pressão e velocidade, sem irreversibilidades.
Passo 4
Incluir a eficiência isentrópica e achar a potência de eixo (shaft) e a potência consumida total:
- Definição usada (para bombas):
. Ou seja, a bomba precisa de mais potência de eixo do que o ideal por causa de irreversibilidades.
Logo
- A bomba perde
da potência consumida como calor que atravessa a fronteira à . Denotando a potência elétrica (ou total) consumida:
Energia: a potência consumida fica dividida entre a potência de eixo e o calor perdido (assumimos que não há outras saídas significativas):
Assim
- Calor perdido pela fronteira (taxa):
- Converter potência consumida para
: usamos .
Didática curta: a eficiência isentrópica diz quanto do “trabalho ideal” é obtido por unidade de trabalho real colocado no equipamento. Como há também uma perda fixa (1%) em forma de calor que sai, dividimos o shaft por
para achar o consumo total.
Passo 5
Cálculo da taxa de geração de entropia
da bomba (passo-chave para exergia destruída):
- Equilíbrio de entropia em regime permanente, uma entrada e uma saída e uma troca de calor
que sai (entrada negativa):
Aqui
é calor que entra no sistema; como o calor sai,
. Rearranjando:
- Precisamos de
. Usamos a relação termodinâmica geral
Para a água no processo real, podemos avaliar usando temperatura próxima de
(água praticamente incompressível). Já calculámos
via trabalho real por unidade de massa:
Mas esse trabalho específico alimenta tanto a variação de entalpia como a variação cinética:
Usando os números:
- Agora
Tomamos
(boa aproximação para líquido com pequena elevação de temperatura). Já temos
. Logo
- Taxa de aumento de entropia transportada pela massa:
- Termo do calor que sai:
- Logo a geração de entropia total:
Explicação didática: entropia é gerada sempre que há irreversibilidade. Aqui dois contribuintes óbvios aparecem: o aumento de entropia do fluido (devido à irreversibilidade na compressão/pumping) e o calor que sai através da fronteira (cada joule de calor trocado com o ambiente a
contribui
à balanço).
Passo 6
Exergia associada ao calor (taxa), item (c):
- Fórmula: a exergia transportada por uma taxa de calor
que atravessa a fronteira à temperatura em relação ao estado morto é
(Explicação: nem todo calor tem valor exergético; a fração
é a parte disponível para conversão em trabalho quando o calor entra a
.)
- Aplicando aos nossos números (lembrando que aqui
é o calor que sai, mas a magnitude nos interessa para a exergia associada ao fluxo de calor):
Interpretação: apenas cerca de
de exergia estão sendo transportados (e perdidos) junto com os
de calor — o restante desse calor é baixa qualidade (praticamente não aproveitável) porque ocorre a temperatura próxima do ambiente.
Passo 7
Exergia associada ao trabalho (item d):
- Trabalho é forma totalmente reversível de energia (idealmente toda potência de trabalho é exergia). Assim a taxa de exergia associada ao trabalho fornecido ao sistema é igual à taxa de trabalho:
Comentário didático: ao contrário do calor, cujo exergia depende da temperatura, qualquer trabalho útil é exergia completa.
Passo 8
Exergia associada ao fluxo (item e) — variação de exergia entre saída e entrada:
- Definição de exergia específica de fluxo (sem considerar potencial gravitacional):
- Em vez de calcular
e separadamente (o que exigiria ), é muito prático calcular a variação específica de exergia ao atravessar a bomba:
Explicação: termos com
se cancelam quando calculamos a diferença entre saída e entrada.
- Já temos
, , e . Então
- Calculemos o termo:
Portanto
- Taxa de exergia associada ao fluxo (variação total por segundo):
Interpretação: essa é a quantidade de exergia que foi adicionada ao fluxo de água pela bomba (o “aumento de exergia do fluido” por segundo).
Passo 9
Exergia destruída (item f) — ligação com geração de entropia:
- Relação fundamental: exergia destruída por irreversibilidades é
(Explicação: exergia destruída é a parte da exergia que se perde devido à irreversibilidades; relaciona-se diretamente com a entropia gerada e a temperatura de referência.)
- Já temos
e , então
- Verificação por balanço de exergia (checagem rápida): balanço de exergia em regime permanente (sem trabalho de saída) diz
Aqui
e
calculado antes. Isolando
obtém-se o mesmo valor aproximado que encontramos via
(cheque de consistência numérica).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)