O comprimento de arco de uma curva polar r(\theta) é calculado usando a parametrização
\left\{\begin{array}{l} x(\theta)=r(\theta) \cos (\theta) \\\ y(\theta)=r(\theta) \sin (\theta) \end{array}\right.
Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas polares.
r(\theta)=1 \mathrm{em}[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva polar definida por r(\theta)=1 no intervalo [0,2\pi]. O conteúdo é cálculo de comprimento de curva em coordenadas polares, para o qual vamos usar a fórmula que expressa o comprimento em termos de r(\theta) e da sua derivada.

Passo 2

Em coordenadas polares, o comprimento de arco de uma curva r(\theta) de \theta=a até \theta=b é dado por
L = \int_{a}^{b} \sqrt{r(\theta)^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta.

Passo 3

Aqui r(\theta)=1 é constante, logo
\frac{dr}{d\theta} = 0.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula com a=0 e b=2\pi temos
L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1^2 + 0^2}\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi.

Resposta

L = 2\pi.

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