Calcule o comprimento da curvas no intervalo descrito
\alpha(t)=\left(\frac{t^{2}}{2}, \frac{t^{3}}{3}\right) em [1, e].

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a curva \alpha(t)=\bigl(\tfrac{t^2}{2},\tfrac{t^3}{3}\bigr) para t\in[1,e] e queremos calcular seu comprimento. O conteúdo aplicado é o cálculo de comprimento de curva no plano, usando a fórmula
L = \int_a^b \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.

Passo 2

Derivar as componentes de \alpha. Temos
x(t) = \frac{t^2}{2},\quad y(t) = \frac{t^3}{3},
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x'(t) = t,\quad y'(t) = t^2.

Passo 3

Montar a expressão da norma do vetor derivada:
\|\alpha'(t)\| = \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} = \sqrt{t^2 + t^4} = t\sqrt{1+t^2}.

Passo 4

Expressar o comprimento como integral e calcular. Assim,
L = \int_{1}^{e} t\sqrt{1+t^2}\,dt.
Fazemos a substituição u=1+t^2, du=2t\,dt, o que dá t\,dt=\tfrac{du}{2}. Então
\int t\sqrt{1+t^2}\,dt = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{1}{3}u^{3/2} + C.
Voltando a t,
\int t\sqrt{1+t^2}\,dt = \frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2} + C.

Passo 5

Avaliar de t=1 a t=e:
L = \left[\frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2}\right]_{1}^{e} = \frac{1}{3}\bigl((1+e^2)^{3/2} - (1+1^2)^{3/2}\bigr) = \frac{1}{3}\bigl((e^2+1)^{3/2} - 2\sqrt{2}\bigr).

Resposta

\frac{1}{3}\bigl((e^2+1)^{3/2} - 2\sqrt{2}\bigr).

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