O comprimento de arco de uma curva polar r(\theta) é calculado usando a parametrização
\left\{\begin{array}{l} x(\theta)=r(\theta) \cos (\theta) \\\ y(\theta)=r(\theta) \sin (\theta) \end{array}\right.
Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas polares.
r(\theta)=\sin (\theta) em [0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva polar
r(\theta)=\sin(\theta)
no intervalo [0,2\pi].
O conteúdo usado é o cálculo de comprimento de arco por parametrização polar, que requer a fórmula
L = \int_{a}^{b} \sqrt{\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2} + \bigl(r(\theta)\bigr)^{2}}\;d\theta.

Passo 2

Vamos recordar como surge essa fórmula. A parametrização em coordenadas cartesianas é
\begin{cases} x(\theta) = r(\theta)\cos(\theta)\\\ y(\theta) = r(\theta)\sin(\theta) \end{cases}
e o comprimento de arco é
L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\bigl x'(\theta)\bigr^{2} + \bigl y'(\theta)\bigr^{2}}\;d\theta.
Um cálculo padrão mostra que
\bigl x'(\theta)\bigr^{2} + \bigl y'(\theta)\bigr^{2} = \bigl(r'(\theta)\bigr)^{2} + \bigl(r(\theta)\bigr)^{2},
levando à forma polar indicada no passo anterior.

Passo 3

Para a nossa curva r(\theta)=\sin(\theta), temos
r'(\theta)=\cos(\theta).
Logo, o integrando fica
\sqrt{\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2} + \bigl(r(\theta)\bigr)^{2}} = \sqrt{\cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta)} =1.

Passo 4

Basta então integrar 1 de 0 a 2\pi:
L = \int_{0}^{2\pi} 1\;d\theta = 2\pi.

Resposta

O comprimento de arco é 2\pi.

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