Exercício 5. Considere o conjunto S=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} \mid a^{3}=b^{3}\right\}. Se \mathbb{F}=\mathbb{R}, S é um subespaço de \mathbb{R}^{3} ? E se \mathbb{F}=\mathbb{C} ?

Passo 1

O enunciado define
S = \{(a,b,c)\in \mathbb F^3 \mid a^3 = b^3\}
e pergunta se S é subespaço de \mathbb F^3 quando \mathbb F=\mathbb R e quando \mathbb F=\mathbb C. Para ser subespaço, S deve conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Caso \mathbb F=\mathbb R. Em \mathbb R, a função x\mapsto x^3 é estritamente crescente, logo
a^3 = b^3 \quad\Longrightarrow\quad a=b.
Assim
S = \{(a,b,c)\in\mathbb R^3 \mid a=b\} = \{(a,a,c)\mid a,c\in\mathbb R\},
que é o plano definido por x=y em \mathbb R^3.

Passo 3

Verificação de subespaço para \mathbb R:
  1. O vetor zero (0,0,0) satisfaz 0^3=0^3, logo 0\in S.
  2. Se (a,a,c) e (a',a',c') estão em S, sua soma é (a+a',a+a',c+c'), que também satisfaz igualdade de coordenadas primeira e segunda, logo está em S.
  3. Se \lambda\in\mathbb R e (a,a,c)\in S, então \lambda(a,a,c)=(\lambda a,\lambda a,\lambda c) e (\lambda a)^3 = \lambda^3a^3 = \lambda^3b^3 = (\lambda a)^3, mas como a=b em S, permanece \lambda a=\lambda b. Logo o escalar também preserva a condição.
    Portanto, para \mathbb F=\mathbb R, S é subespaço de \mathbb R^3.

Passo 4

Caso \mathbb F=\mathbb C. Em \mathbb C não vale que a^3=b^3 implique a=b: temos as três raízes da unidade
1,\quad \omega = e^{2\pi i/3},\quad \omega^2,
todas com cubo igual a 1. Logo, sempre que a^3=b^3 podemos ter
a = \omega^k\,b,\quad k\in\{0,1,2\}.
Isto faz com que
S = \bigl\{(a,b,c)\mid a=\omega^k b,\;k=0,1,2,\;c\in\mathbb C\bigr\}
seja a união de três planos distintos passando pela origem.

Passo 5

Contraexemplo à clausura sob soma em \mathbb C:
Tome (1,1,0)\in S (caso k=0) e (\omega,1,0)\in S (caso k=1). A soma é
(1,1,0) + (\omega,1,0) = (1+\omega,\;2,\;0).
Verifique se (1+\omega)^3 = 2^3: usando \,1+\omega = -\omega^2, obtemos
(1+\omega)^3 =(-\omega^2)^3 = -\omega^6 = -1 \neq 8 = 2^3.
Portanto a soma não satisfaz a condição a^3=b^3 e fica fora de S. Logo S não é fechado sob adição em \mathbb C^3 e não é subespaço.

Resposta

Para \mathbb F=\mathbb R: sim, S é subespaço (é o plano a=b).
Para \mathbb F=\mathbb C: não, S não é subespaço.

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