Exercício 5. Considere o conjunto
. Se
,
é um subespaço de
? E se
?
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
é subespaço de
quando
e quando
. Para ser subespaço,
deve conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Caso
. Em
, a função
é estritamente crescente, logo
Assim
que é o plano definido por
em
.
Passo 3
Verificação de subespaço para
:
- O vetor zero
satisfaz , logo . - Se
e estão em , sua soma é , que também satisfaz igualdade de coordenadas primeira e segunda, logo está em . - Se
e , então e , mas como em , permanece . Logo o escalar também preserva a condição.
Portanto, para, é subespaço de .
Passo 4
Caso
. Em
não vale que
implique
: temos as três raízes da unidade
todas com cubo igual a 1. Logo, sempre que
podemos ter
Isto faz com que
seja a união de três planos distintos passando pela origem.
Passo 5
Contraexemplo à clausura sob soma em
:
Tome (caso
) e
(caso
). A soma é
Tome
Verifique se
: usando
, obtemos
Portanto a soma não satisfaz a condição
e fica fora de
. Logo
não é fechado sob adição em
e não é subespaço.
Resposta
Para
: sim,
é subespaço (é o plano
).
Para : não,
não é subespaço.
Para