O comprimento de uma barra foi medido 10 vezes. Calcule a média, o desvio padrão, o erro estatístico. Escreva a medida na forma de intervalo, sabendo que o erro sistemático neste experimento corresponde a 5% do valor médio. As medidas encontradas foram:
L_{i}(\mathrm{~cm}) \quad
5,37 5,38 5,35 5,36 5,35
5,37 5,38 5,37 5,39 5,38

Passo 1

O enunciado pede que eu faça, a partir de 10 medidas de comprimento, os seguintes itens:
  • Calcular a média das medidas.
  • Calcular o desvio padrão (das medidas).
  • Calcular o erro estatístico (erro da média).
  • Escrever a medida na forma de intervalo sabendo que o erro sistemático é 5\% do valor médio.
Informações fornecidas (as 10 medidas, já copiadas do enunciado):
L_i(\text{cm}) = 5,37,\;5,38,\;5,35,\;5,36,\;5,35,\;5,37,\;5,38,\;5,37,\;5,39,\;5,38.

Passo 2

Calcular a média aritmética (explicando a fórmula).
A média aritmética \bar{L} de N medições L_i é
\bar{L}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L_i,
onde N é o número de medidas (aqui N=10).
Somando as medidas (mostrando a conta):
\sum_{i=1}^{10}L_i = 5,37+5,38+5,35+5,36+5,35+5,37+5,38+5,37+5,39+5,38 = 53,70.
Logo a média é
\bar{L}=\frac{53,70}{10}=5,37\\ \text{cm}.
Comentário rápido: a média é o “centro” dos dados — soma-se tudo e divide-se pelo número de observações.

Passo 3

Calcular o desvio padrão das medidas (explicando o que é e a fórmula).
O desvio padrão amostral s mede a dispersão das medidas em torno da média. A fórmula (usada quando se tem uma amostra de N medidas) é
s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(L_i-\bar{L}\bigr)^2}.
Aqui usamos N-1 no denominador (correção de Bessel) porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra.
Calculo das diferenças e dos quadrados (agrupando por valores repetidos, para facilitar a conta à mão):
  • Para L=5,37: L-\bar{L}=0,00, ocorre 3 vezes → contribuição 3\times 0,00^2=0.
  • Para L=5,38: L-\bar{L}=+0,01, ocorre 3 vezes → contribuição 3\times(0,01)^2=3\times 0,0001=0,0003.
  • Para L=5,35: L-\bar{L}=-0,02, ocorre 2 vezes → contribuição 2\times(0,02)^2=2\times 0,0004=0,0008.
  • Para L=5,36: L-\bar{L}=-0,01, 1 vez → 0,0001.
  • Para L=5,39: L-\bar{L}=+0,02, 1 vez → 0,0004.
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{10}\bigl(L_i-\bar{L}\bigr)^2 = 0,0003+0,0008+0,0001+0,0004 = 0,0016.
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{0,0016}{10-1}=\frac{0,0016}{9}=0,000177\overline{7}.
E o desvio padrão:
s=\sqrt{0,000177\overline{7}}\approx 0,01333\\ \text{cm}.
Interpretação curta: a maioria das medições difere da média por cerca de 0,013\\ \text{cm}.

Passo 4

Calcular o erro estatístico (erro da média) e explicar.
O erro estatístico (erro padrão da média) quantifica a incerteza da média devido à variação amostral. A fórmula é
\sigma_{\bar{L}}=\frac{s}{\sqrt{N}},
onde s é o desvio padrão amostral e N o número de medições.
Substituindo:
\sigma_{\bar{L}}=\frac{0,01333}{\sqrt{10}}=\frac{0,01333}{3,1623\ldots}\approx 0,00422\\ \text{cm}.
Comentário: o erro da média é menor que o desvio padrão das medidas porque ao tirar mais medidas a média fica mais precisa (divisão por \sqrt{N}).

Passo 5

Calcular o erro sistemático e explicar como combiná-lo com o erro estatístico.
O erro sistemático foi dado como 5\% do valor médio. Então:
\text{erro sistemático} = 0,05\times\bar{L}=0,05\times 5,37 = 0,2685\\ \text{cm}.á
Quando existe um erro estatístico e um erro sistemático independentes, a prática comum é combinar as incertezas por soma em quadratura (raiz da soma dos quadrados), ou seja:
\Delta_{\text{total}}=\sqrt{\sigma_{\bar{L}}^{2}+\text{(erro sistemático)}^{2}}.á
Substituindo os valores:
\Delta_{\text{total}}=\sqrt{(0,00422)^2+(0,2685)^2}\approx\sqrt{0,0000178+0,0720923}\approx\sqrt{0,0721101}\approx 0,2686\\ \text{cm}.
Observação: aqui o erro sistemático domina (é muito maior que o erro estatístico), então o erro total fica praticamente igual ao erro sistemático.

Passo 6

Arredondamento e escrita final na forma apropriada (explicando a regra usada).
Regra prática: a incerteza final costuma ser apresentada com uma ou duas cifras significativas; quando o primeiro dígito é 1 ou 2, às vezes mantêm duas cifras significativas. Aqui \Delta_{\text{total}}\approx 0,2686 — escolho apresentar a incerteza com duas cifras significativas: 0,27\\ \text{cm}.
Ao arredondar a incerteza para 0,27\\ \text{cm}, a média deve ser arredondada para a mesma ordem decimal (casas decimais) da incerteza (duas casas decimais depois da vírgula). A média \bar{L}=5,37\\ \text{cm} já está com duas casas decimais, então permanece 5,37\\ \text{cm}.
Intervalo correspondente (limites):
[\,\bar{L}-\Delta_{\text{total}},\;\bar{L}+\Delta_{\text{total}}\,] \approx [\,5,37-0,27,\;5,37+0,27\,] = [\,5,10,\;5,64\,]\\ \text{cm}.

Resposta

Média: \bar{L}=5,37\\ \text{cm}
Desvio padrão (amostral): s\approx 0,01333\\ \text{cm}
Erro estatístico (erro da média): \sigma_{\bar{L}}\approx 0,00422\\ \text{cm}
Erro sistemático (5% da média): 0,2685\\ \text{cm}
Incerteza total (somada em quadratura): \Delta_{\text{total}}\approx 0,27\\ \text{cm}
Medida final (forma intervalo): 5,37\pm 0,27\\ \text{cm} (intervalo [5,10,\;5,64]\\ \text{cm})

Exercícios relacionados