Encontre os seis primeiros termos do polinômio de Taylor da função
y=ln(x) em x=1.
Baseado nestes termos, escreva ln(x) em x=1 como soma de infinito termos.
Baseado nestes termos, escreva \ln (\mathrm{x}) em \mathrm{x}=1 como soma de infinito termos.
(Sol. \ln x=-\sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-(x-1))^{n}}{n} )

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedem os seis primeiros termos do polinômio de Taylor de y=\ln(x) centrado em x=1.
  • Depois pedem usar esses termos para escrever \ln(x) em x=1 como uma soma infinita (sua série de Taylor).
    Informações dadas/implícitas:
  • A função é f(x)=\ln(x).
  • O ponto de expansão (centro) é a=1.
  • Vou calcular derivadas de f em a=1, montar o polinômio de Taylor e, em seguida, escrever a soma infinita.

Passo 2

Recordando a fórmula de Taylor centrada em a:
\text{Se }f\text{ é infinitamente diferenciável em }a,\text{ então } f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n},éáã
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a, e o polinômio de Taylor de ordem N é a soma dessa série até n=N.
Explicando as letras: em \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n},
  • f^{(n)}(a) é a derivada de ordem n no ponto a;
  • n! é o fatorial (produto 1\cdot2\cdot\ldots\cdot n);
  • (x-a)^{n} é a potência que mede quão longe x está do centro a.

Passo 3

Calcular f(1):
f(1)=\ln(1)=0.
Este é o termo constante do polinômio (coeficiente do (x-1)^{0}).

Passo 4

Calcular derivadas sucessivas de f(x)=\ln(x) e avaliá‑las em x=1, passo a passo:
  • Primeira derivada:
f'(x)=\frac{1}{x}\qquad\Rightarrow\qquad f'(1)=1.
  • Segunda derivada:
f''(x)=\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}}\qquad\Rightarrow\qquad f''(1)=-1.
  • Terceira derivada:
f^{(3)}(x)=\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)'= \frac{2}{x^{3}}\qquad\Rightarrow\qquad f^{(3)}(1)=2.
  • Quarta derivada:
f^{(4)}(x)=\left(\frac{2}{x^{3}}\right)'=-\frac{6}{x^{4}}\qquad\Rightarrow\qquad f^{(4)}(1)=-6.
  • Quinta derivada:
f^{(5)}(x)=\left(-\frac{6}{x^{4}}\right)'=\frac{24}{x^{5}}\qquad\Rightarrow\qquad f^{(5)}(1)=24.
  • Sexta derivada:
f^{(6)}(x)=\left(\frac{24}{x^{5}}\right)'=-\frac{120}{x^{6}}\qquad\Rightarrow\qquad f^{(6)}(1)=-120.

Passo 5

Observar o padrão e escrever a fórmula geral das derivadas (útil para a série infinita):
  • Para n\ge 1,
f^{(n)}(x)=(-1)^{\,n-1}(n-1)!\,x^{-n}.
Portanto, em x=1,
f^{(n)}(1)=(-1)^{\,n-1}(n-1)!\quad\text{para }n\ge 1.

Passo 6

Calcular os coeficientes de Taylor \dfrac{f^{(n)}(1)}{n!} para n=0,1,\dots,6:
  • Para n=0: \dfrac{f(1)}{0!}=\dfrac{0}{1}=0.
  • Para n\ge1: usando f^{(n)}(1)=(-1)^{n-1}(n-1)!,
\frac{f^{(n)}(1)}{n!}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}=\frac{(-1)^{n-1}}{n}.
Logo os coeficientes são \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}.

Passo 7

Escrever explicitamente os seis primeiros termos (isto é, os termos até ordem 6, excluindo o n=0 que é zero):
\ln(x)\approx (x-1)-\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(x-1)^{3}}{3}-\frac{(x-1)^{4}}{4}+\frac{(x-1)^{5}}{5}-\frac{(x-1)^{6}}{6}.
Aqui cada termo foi obtido como \dfrac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^{n}=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}(x-1)^{n} para n=1,\dots,6.

Passo 8

Passar para a soma infinita (série de Taylor). Como vimos, para n\ge1 o termo geral é \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}(x-1)^{n}. Assim:
\ln(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}(x-1)^{n}.
Outra forma equivalente, reescrevendo o sinal, é
\ln(x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\bigl(-(x-1)\bigr)^{n}}{n}.

Passo 9

Comentário sobre convergência (importante para saber onde essa soma representa \ln(x)):
  • Fazendo a substituição u=x-1 obtemos a conhecida série de \ln(1+u):
\ln(1+u)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}u^{n},
que converge para |u|<1 (raio de convergência 1). Em termos de x, a série converge para \;|x-1|<1, ou seja, 0<x<2.
  • No ponto x=2 (ou u=1) a série converge também (série alternada que converge para \ln 2). Em x=0 (ou u=-1) diverge porque se torna a série harmônica divergente com sinal negativo.

Resposta

\ln(x)\approx (x-1)-\dfrac{(x-1)^{2}}{2}+\dfrac{(x-1)^{3}}{3}-\dfrac{(x-1)^{4}}{4}+\dfrac{(x-1)^{5}}{5}-\dfrac{(x-1)^{6}}{6}
\displaystyle \ln(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}(x-1)^{n} = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\bigl(-(x-1)\bigr)^{n}}{n}

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