Encontre os seis primeiros termos do polinômio de Taylor da função
y=ln(x) em x=1.
Baseado nestes termos, escreva ln(x) em x=1 como soma de infinito termos.
Baseado nestes termos, escreva \ln (\mathrm{x}) em \mathrm{x}=1 como soma de infinito termos.
(Sol.
)
y=ln(x) em x=1.
Baseado nestes termos, escreva ln(x) em x=1 como soma de infinito termos.
Baseado nestes termos, escreva \ln (\mathrm{x}) em \mathrm{x}=1 como soma de infinito termos.
(Sol.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pedem os seis primeiros termos do polinômio de Taylor de
centrado em . - Depois pedem usar esses termos para escrever
em como uma soma infinita (sua série de Taylor).
Informações dadas/implícitas: - A função é
. - O ponto de expansão (centro) é
. - Vou calcular derivadas de
em , montar o polinômio de Taylor e, em seguida, escrever a soma infinita.
Passo 2
Recordando a fórmula de Taylor centrada em
:
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e o polinômio de Taylor de ordem
é a soma dessa série até
.
Explicando as letras: em ,
Explicando as letras: em
-
é a derivada de ordem no ponto ; -
é o fatorial (produto ); -
é a potência que mede quão longe está do centro .
Passo 3
Calcular
:
Este é o termo constante do polinômio (coeficiente do
).
Passo 4
Calcular derivadas sucessivas de
e avaliá‑las em
, passo a passo:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
- Quinta derivada:
- Sexta derivada:
Passo 5
Observar o padrão e escrever a fórmula geral das derivadas (útil para a série infinita):
- Para
,
Portanto, em
,
Passo 6
Calcular os coeficientes de Taylor
para
:
- Para
: - Para
: usando ,
Logo os coeficientes são
.
Passo 7
Escrever explicitamente os seis primeiros termos (isto é, os termos até ordem
, excluindo o
que é zero):
Aqui cada termo foi obtido como
para
.
Passo 8
Passar para a soma infinita (série de Taylor). Como vimos, para
o termo geral é
. Assim:
Outra forma equivalente, reescrevendo o sinal, é
Passo 9
Comentário sobre convergência (importante para saber onde essa soma representa
):
- Fazendo a substituição
obtemos a conhecida série de :
que converge para
(raio de convergência
). Em termos de
, a série converge para
, ou seja,
.
- No ponto
(ou ) a série converge também (série alternada que converge para ). Em (ou ) diverge porque se torna a série harmônica divergente com sinal negativo.