O comprimento de uma barra de peso 200 N é 3 m , e sobre ela se apoia um bloco cujo peso é 300 N . O fio, que faz um ângulo \theta=30^{\circ}, pode suportar uma tensão
máxima de 500 N . (a) Calcule a maior distância x para que o fio não arrebente. (b) Supondo que o peso do bloco esteja localizado neste valor máximo de x, quais são as componentes vertical e horizontal da força exercida pela barra sobre o pino?

Passo 1

O enunciado descreve uma barra homogênea de comprimento L=3{,}0\\ \mathrm m e peso W_{\rm bar}=200\\ \mathrm N, articulada em A (pino) e sustentada em B por um fio que faz \theta=30^\circ com a horizontal. Sobre a barra há um bloco de peso W_{\rm block}=300\\ \mathrm N colocado a uma distância x de A. O fio suporta tensão máxima T_{\max}=500\\ \mathrm N.
(a) Para não arrebentar o fio, precisamos achar o maior x tal que a tensão T\le 500\\ \mathrm N.
(b) Com o bloco em x_{\max}, queremos as componentes horizontal e vertical da força que a barra exerce sobre o pino em A.
Resolveremos usando equilíbrio estático: soma dos momentos em A nula e soma das forças em x e y nula.

Passo 2

Equilíbrio de momentos em A: a componente vertical da tensão no ponto B é T\sin\theta, que produz momento contrário aos pesos. Assim,
T\sin\theta\;\cdot L \;=\;W_{\rm block}\,x \;+\;W_{\rm bar}\,\frac{L}{2}.
Isolando T:
T \;=\;\frac{W_{\rm block}\,x \;+\;W_{\rm bar}\,(L/2)}{L\,\sin\theta} \;=\;\frac{300\,x + 200\,(3/2)}{3\cdot\frac12} \;=\;\frac{300\,x +300}{1{,}5} \;=\;200\,x +200.

Passo 3

Impondo T\le T_{\max}=500\\ \mathrm N:
200\,x +200 \le 500 \quad\Longrightarrow\quad 200\,x \le 300 \quad\Longrightarrow\quad x \le 1{,}5\\ \mathrm m.
Logo, x_{\max}=1{,}5\\ \mathrm m.

Passo 4

Para x=1{,}5\\ \mathrm m, temos T=T_{\max}=500\\ \mathrm N. Em seguida, equilíbrio de forças na barra: \displaystyle\sum F_x=0
H + T\cos\theta =0 \quad\Longrightarrow\quad H = -\,T\cos\theta = -\,500\cos30^\circ = -\,500\cdot\frac{\sqrt3}{2}\approx -433\\ \mathrm N. \displaystyle\sum F_y=0
V + T\sin\theta - W_{\rm block} - W_{\rm bar}=0 \quad\Longrightarrow\quad V = W_{\rm block}+W_{\rm bar} - T\sin\theta =300+200 -500\cdot\frac12 =250\\ \mathrm N.
Aqui H e V são as componentes da força que o pino exerce na barra. A força que a barra exerce no pino é oposta, ou seja,
H_{\rm bar\to pino}=+433\\ \mathrm N\\ (\text{para a esquerda}),\quad V_{\rm bar\to pino}=+250\\ \mathrm N\\ (\text{para baixo}).

Resposta

(a) x_{\max}=1{,}5\\ \mathrm m.
(b) Componentes da força da barra sobre o pino:
horizontal 433\\ \mathrm N (direção para a esquerda),
vertical 250\\ \mathrm N (para baixo).

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