Uma escada de massa desprezível e de comprimento
se apoia contra uma parede lisa fazendo um ângulo de
com o chão horizontal. O coeficiente de atrito entre a escada e o chão é
. Um homem escala a escada. Qual altura ele pode alcançar antes que a escada deslize?
Passo 1
O enunciado descreve uma escada de comprimento
e massa desprezível, apoiada contra uma parede lisa, fazendo ângulo
com o chão. A base da escada tem atrito estático com coeficiente
. Um homem de massa
sobe até uma altura
(medida verticalmente). Precisamos achar a maior altura
antes que a escada comece a deslizar. Vamos usar equilíbrio de forças e de torques, além da condição de atrito estático
.
Passo 2
Desenhando o diagrama de forças sobre a escada:
- Na base (ponto 0), há força normal vertical
para cima e força de atrito horizontal . - No topo, a parede lisa exerce reação normal horizontal
(para a esquerda). - O peso do homem
atua verticalmente para baixo a uma altura da base.
Em regime de equilíbrio estático, soma das forças horizontais e verticais é zero, e soma dos torques em qualquer ponto é zero.
Passo 3
Escrevendo as equações de equilíbrio de forças:
Passo 4
Equilíbrio de momentos tomando o ponto de apoio na base da escada:
- Torque de
: braço perpendicular , sentido anti-horário. - Torque do peso
: braço perpendicular igual à distância horizontal do peso ao pé da escada, que é , sentido horário.
Impondo:
Passo 5
Para não deslizar, a força de atrito deve atender
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 6
Podemos também escrever
logo a altura máxima é