m 189.102 \pm 0.00 189.212 \pm 0.00 189.284 \pm 0.00 189.203 \pm 0.00
(g) 3 3 3 3
A tabela acima fornece \mathrm{N}=5 medidas da massa de uma peça qualquer.
Calcule a média, o desvio-padrão, o desvio-padrão da média e a incerteza total de m. Anote seus resultados abaixo.
Nos itens a-d não se preocupe com arredondamentos nem algarismos significativos e digite os valores tal qual saem da sua calculadora pelo menos até a casa do milésimo.
(a) Média de m: R: □ g
(b) Desvio-padrão de m: R: □ g
(c) Desvio-padrão da média de m: R: □ g
(d) Incerteza total de m: R: □ g
(e) Se o valor médio de m e/ou sua incerteza \Delta m serão usados em outras contas, então você deve usar os valores não arredondados nos cálculos e deixar para arredondar apenas ao final das contas. Nesta questão, no entanto, queremos apenas o valor de m e sua incerteza. Realize os arredondamentos necessários e anote abaixo o valor de m e sua incerteza total como manda o figurino.
\mathbf{R}: \mathbf{m}=(\square) \mathbf{I} \square) \mathbf{g}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Calcular a média de m.
  • (b) Calcular o desvio-padrão de m (desvio amostral).
  • (c) Calcular o desvio-padrão da média (erro padrão).
  • (d) Calcular a incerteza total de m combinando incerteza aleatória e a origem instrumental.
  • (e) Apresentar o valor final de m com a incerteza arredondados “como manda o figurino”.
Informações fornecidas (peguei estes dados da tabela enviada):
  • Medidas de massa: m_1=189{,}102\\ \mathrm{g}, m_2=189{,}212\\ \mathrm{g}, m_3=189{,}284\\ \mathrm{g}, m_4=189{,}203\\ \mathrm{g}.
  • Na tabela aparece uma linha “ (\mathrm{g})” com o número 3 em cada coluna — interpreto isso como indicação de que os valores têm 3 casas decimais, ou seja resolução do instrumento igual a r=10^{-3}\\ \mathrm{g}.
Observação sobre N: o enunciado cita \mathrm{N}=5 medidas, mas a tabela efetivamente contém apenas quatro valores numéricos. Não pedi nada ao professor (conforme instrução), portanto vou proceder usando as quatro medidas que aparecem na tabela, isto é N=4. Se estivesse realmente faltando um valor, seria preciso obtê-lo; aqui uso somente os quatro dados presentes.

Passo 2

Cálculo da média aritmética (explicando a fórmula)
  • Fórmula: \bar{m}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} m_i
  • Substituindo os valores (aqui usei N=4 porque há quatro medidas na tabela):
\bar{m}=\frac{1}{4}\bigl(189{,}102+189{,}212+189{,}284+189{,}203\bigr)\\ \mathrm{g}.
  • Soma interna (mostrando o passo): 189{,}102+189{,}212=378{,}314, \qquad 378{,}314+189{,}284=567{,}598, \qquad 567{,}598+189{,}203=756{,}801.
  • Portanto:
\bar{m}=\frac{756{,}801}{4}=189{,}20025\\ \mathrm{g}.
Interpretação rápida: a média é \bar{m}=189{,}20025\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Cálculo do desvio-padrão amostral (passo a passo e ensinando o conceito)
  • Conceito: o desvio-padrão amostral s mede a dispersão das medidas em torno da média. Para uma amostra de N medidas usa-se a fórmula com divisor N-1 (correção de Bessel), que dá uma estimativa não viciada da variabilidade.
  • Fórmula em bloco: s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(m_i-\bar{m}\bigr)^2}.
  • Calcule as diferenças m_i-\bar{m} e seus quadrados (uso os valores numéricos que já calculei):
\begin{aligned} m_1-\bar{m} &= 189{,}102 - 189{,}20025 = -0{,}09825,\\\ m_2-\bar{m} &= 189{,}212 - 189{,}20025 = 0{,}01175,\\\ m_3-\bar{m} &= 189{,}284 - 189{,}20025 = 0{,}08375,\\\ m_4-\bar{m} &= 189{,}203 - 189{,}20025 = 0{,}00275. \end{aligned}
Agora os quadrados:
\begin{aligned} (-0{,}09825)^2 &= 0{,}0096510625,\\\ (0{,}01175)^2 &= 0{,}0001380625,\\\ (0{,}08375)^2 &= 0{,}0070140625,\\\ (0{,}00275)^2 &= 0{,}0000075625. \end{aligned}
  • Soma dos quadrados: \sum_{i=1}^{4}\bigl(m_i-\bar{m}\bigr)^2 = 0{,}01681075.
  • Divide por N-1=3 e tira raiz:
s^2=\frac{0{,}01681075}{3}=0{,}005603583333\ldots
s=\sqrt{0{,}005603583333\ldots}=0{,}074857086\\ \mathrm{g}\\ (\text{aprox.}).
Breve comentário didático: o valor s dá a dispersão típica entre medidas individuais; aqui é cerca de 7{,}5\times10^{-2}\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Cálculo do desvio-padrão da média (erro padrão) e explicação
  • Conceito: o desvio-padrão da média (erro padrão) mostra quanto a média da amostra provavelmente difere da média “verdadeira” da população; ele diminui com N.
  • Fórmula: s_{\bar{m}}=\frac{s}{\sqrt{N}}.
  • Substituindo s=0{,}074857086\\ \mathrm{g} e N=4 (logo \sqrt{N}=2):
s_{\bar{m}}=\frac{0{,}074857086}{2}=0{,}037428543\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Estimativa da incerteza instrumental (incerteza tipo B) a partir da resolução e explicação
  • Motivação: além da incerteza aleatória (tipo A) existe a incerteza por resolução/precisão do instrumento (tipo B). A tabela indicou 3 casas decimais, então assumo resolução r=10^{-3}\\ \mathrm{g}.
  • Se a leitura pode variar uniformemente no intervalo \pm r/2, a incerteza padrão associada é: u_B=\frac{r}{\sqrt{12}}.
  • Substituindo r=10^{-3}\\ \mathrm{g}:
u_B=\frac{0{,}001}{\sqrt{12}}=0{,}0002886751346\\ \mathrm{g}\\ (\text{aprox.}).
Explicação curta: usamos distribuição uniforme porque, sem outra informação, qualquer valor dentro do intervalo de meio dígito é igualmente provável; a variância de uma uniforme [-a,a] é a^2/3, o que leva à fórmula acima.

Passo 6

Combinação das incertezas (incerteza total) e cálculo final
  • Regra: quando as incertezas são independentes, combinam-se por soma em quadratura:
u_{\text{total}}=\sqrt{u_A^2+u_B^2},
onde aqui u_A=s_{\bar{m}} (erro padrão) e u_B é a incerteza instrumental.
  • Valores numéricos:
u_A^2 = (0{,}037428543)^2 = 0{,}001400895833333\ldots
u_B^2 = (0{,}0002886751346)^2 = 8{,}333333333\times10^{-8}
u_{\text{total}}=\sqrt{0{,}0014008958333333+8{,}333333333\times10^{-8}} =\sqrt{0{,}0014009791666666}=0{,}037429658\\ \mathrm{g}\\ (\text{aprox.}).
Comentário: a contribuição instrumental é muito pequena diante do erro estatístico u_A, por isso u_{\text{total}} é praticamente igual a u_A com um acréscimo muito pequeno.

Passo 7

Arredondamento final “como manda o figurino” e apresentação do resultado final
  • Regra prática usual: arredonda-se a incerteza total para uma ou duas cifras significativas (muitos adotam duas quando a primeira é 1); aqui \,u_{\text{total}}\approx0{,}037429658\\ \mathrm{g}, escolho apresentar a incerteza com duas algarismos significativos como \,0{,}037\\ \mathrm{g}.
  • Ajuste do valor médio para a mesma casa decimal da incerteza: a incerteza \,0{,}037\\ \mathrm{g} tem três casas decimais, portanto a média deve ser apresentada com três casas decimais: \bar{m}=189{,}200\\ \mathrm{g} (arredondando 189{,}20025 para três casas decimais dá 189{,}200).
  • Resultado final formatado: m=(189{,}200\pm0{,}037)\\ \mathrm{g}.

Resposta

(a) Média de m: 189{,}20025\\ \mathrm{g}
(b) Desvio-padrão de m: 0{,}074857086\\ \mathrm{g}
(c) Desvio-padrão da média de m: 0{,}037428543\\ \mathrm{g}
(d) Incerteza total de m: 0{,}037429658\\ \mathrm{g}
(e) m=(189{,}200\pm0{,}037)\\ \mathrm{g}

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