A tabela acima fornece \mathrm{N}=5 medidas da massa de uma peça qualquer.
Calcule a média, o desvio-padrão, o desvio-padrão da média e a incerteza total de m. Anote seus resultados abaixo.
Nos itens a-d não se preocupe com arredondamentos nem algarismos significativos e digite os valores tal qual saem da sua calculadora pelo menos até a casa do milésimo.
(a) Média de m: R: □ g
(b) Desvio-padrão de m: R: □ g
(c) Desvio-padrão da média de m: R: □ g
(d) Incerteza total de m: R: □ g
(e) Se o valor médio de m e/ou sua incerteza \Delta m serão usados em outras contas, então você deve usar os valores não arredondados nos cálculos e deixar para arredondar apenas ao final das contas. Nesta questão, no entanto, queremos apenas o valor de m e sua incerteza. Realize os arredondamentos necessários e anote abaixo o valor de m e sua incerteza total como manda o figurino.
Na tabela aparece uma linha “(\mathrm{g})” com o número 3 em cada coluna — interpreto isso como indicação de que os valores têm 3 casas decimais, ou seja resolução do instrumento igual a r=10^{-3}\\ \mathrm{g}.
Observação sobre N: o enunciado cita \mathrm{N}=5 medidas, mas a tabela efetivamente contém apenas quatro valores numéricos. Não pedi nada ao professor (conforme instrução), portanto vou proceder usando as quatro medidas que aparecem na tabela, isto é N=4. Se estivesse realmente faltando um valor, seria preciso obtê-lo; aqui uso somente os quatro dados presentes.
Passo 2
Cálculo da média aritmética (explicando a fórmula)
Fórmula: \bar{m}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} m_i
Substituindo os valores (aqui usei N=4 porque há quatro medidas na tabela):
Interpretação rápida: a média é \bar{m}=189{,}20025\\ \mathrm{g}.
Passo 3
Cálculo do desvio-padrão amostral (passo a passo e ensinando o conceito)
Conceito: o desvio-padrão amostral s mede a dispersão das medidas em torno da média. Para uma amostra de N medidas usa-se a fórmula com divisor N-1 (correção de Bessel), que dá uma estimativa não viciada da variabilidade.
Fórmula em bloco: s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(m_i-\bar{m}\bigr)^2}.
Calcule as diferenças m_i-\bar{m} e seus quadrados (uso os valores numéricos que já calculei):
Breve comentário didático: o valor s dá a dispersão típica entre medidas individuais; aqui é cerca de 7{,}5\times10^{-2}\\ \mathrm{g}.
Passo 4
Cálculo do desvio-padrão da média (erro padrão) e explicação
Conceito: o desvio-padrão da média (erro padrão) mostra quanto a média da amostra provavelmente difere da média “verdadeira” da população; ele diminui com N.
Fórmula: s_{\bar{m}}=\frac{s}{\sqrt{N}}.
Substituindo s=0{,}074857086\\ \mathrm{g} e N=4 (logo \sqrt{N}=2):
Estimativa da incerteza instrumental (incerteza tipo B) a partir da resolução e explicação
Motivação: além da incerteza aleatória (tipo A) existe a incerteza por resolução/precisão do instrumento (tipo B). A tabela indicou 3 casas decimais, então assumo resolução r=10^{-3}\\ \mathrm{g}.
Se a leitura pode variar uniformemente no intervalo \pm r/2, a incerteza padrão associada é: u_B=\frac{r}{\sqrt{12}}.
Explicação curta: usamos distribuição uniforme porque, sem outra informação, qualquer valor dentro do intervalo de meio dígito é igualmente provável; a variância de uma uniforme [-a,a] é a^2/3, o que leva à fórmula acima.
Passo 6
Combinação das incertezas (incerteza total) e cálculo final
Regra: quando as incertezas são independentes, combinam-se por soma em quadratura:
u_{\text{total}}=\sqrt{u_A^2+u_B^2},
onde aqui u_A=s_{\bar{m}} (erro padrão) e u_B é a incerteza instrumental.
Comentário: a contribuição instrumental é muito pequena diante do erro estatístico u_A, por isso u_{\text{total}} é praticamente igual a u_A com um acréscimo muito pequeno.
Passo 7
Arredondamento final “como manda o figurino” e apresentação do resultado final
Regra prática usual: arredonda-se a incerteza total para uma ou duas cifras significativas (muitos adotam duas quando a primeira é 1); aqui \,u_{\text{total}}\approx0{,}037429658\\ \mathrm{g}, escolho apresentar a incerteza com duas algarismos significativos como \,0{,}037\\ \mathrm{g}.
Ajuste do valor médio para a mesma casa decimal da incerteza: a incerteza \,0{,}037\\ \mathrm{g} tem três casas decimais, portanto a média deve ser apresentada com três casas decimais: \bar{m}=189{,}200\\ \mathrm{g} (arredondando 189{,}20025 para três casas decimais dá 189{,}200).
Resultado final formatado: m=(189{,}200\pm0{,}037)\\ \mathrm{g}.
Resposta
(a) Média de m: 189{,}20025\\ \mathrm{g}
(b) Desvio-padrão de m: 0{,}074857086\\ \mathrm{g}
(c) Desvio-padrão da média de m: 0{,}037428543\\ \mathrm{g}
(d) Incerteza total de m: 0{,}037429658\\ \mathrm{g}
(e) m=(189{,}200\pm0{,}037)\\ \mathrm{g}