Qual o comprimento necessário de uma linha de transmissão (b) em circuito aberto para produzir uma reatância de
(a) indutiva e (b) capacitiva. Considere
e
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está abaixo:
- Dados:
(ou seja );
. - Pedido:
(a) achar o comprimentode uma linha de transmissão em circuito aberto que produza uma reatância de (reatância indutiva);
(b) achar o comprimentoda mesma linha, em circuito aberto, que produza uma reatância de (reatância capacitiva).
Passo 2
Entendendo a relação que vamos usar (explicação passo a passo):
- Para uma linha de transmissão com extremidade aberta (carga em circuito aberto), a impedância de entrada
é dada por
onde:
-
é a impedância vista na entrada da linha; -
é a impedância característica ( aqui); -
é a constante de fase da linha, definida por ; -
é o comprimento da linha; -
é a unidade imaginária. - Interpretação física: a expressão quer dizer que a impedância de entrada é puramente imaginária (reatância) e proporcional a
. Se a reatância é positiva (indutiva); se a reatância é negativa (capacitiva). - Logo, a reatância
(parte imaginária de ) vale
Esse é o ponto de partida: resolver
.
Passo 3
Preparar os cálculos numéricos básicos:
- Calcular
:
(Expliquei: basta dividir
por
.)
Passo 4
Caso (a) — reatância indutiva
:
- Escrever a equação:
- Solução geral para
: como é periódica de período ,
- Tomando a menor solução positiva (escolha prática para a menor linha possível), escolhemos
. Calcular :
- Obter
:
- Observação sobre múltiplas soluções: adicionar
a corresponde a adicionar a . Assim as soluções são
mas a menor positiva é
.
Passo 5
Caso (b) — reatância capacitiva
:
- Escrever a equação:
- Solução geral:
- Para obter a menor
escolhemos (porque é negativo):
- Calcular
:
- Observação sobre múltiplas soluções: novamente somar
dá soluções adicionais a cada . Assim as soluções são
mas a menor positiva é
.
Resposta
a) indutiva:
(menor solução)
b) capacitiva: (menor solução)
b) capacitiva: