Qual o comprimento necessário de uma linha de transmissão (b) em circuito aberto para produzir uma reatância de 200 \Omega (a) indutiva e (b) capacitiva. Considere lambda=75 \mathrm{~cm} e \mathrm{Z} 0=80 \Omega.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está abaixo:
  • Dados:
    \lambda=75\\ \mathrm{cm} (ou seja \lambda=0,75\\ \mathrm{m});
    Z_0=80\\ \Omega.
  • Pedido:
    (a) achar o comprimento l de uma linha de transmissão em circuito aberto que produza uma reatância de +200\\ \Omega (reatância indutiva);
    (b) achar o comprimento l da mesma linha, em circuito aberto, que produza uma reatância de -200\\ \Omega (reatância capacitiva).

Passo 2

Entendendo a relação que vamos usar (explicação passo a passo):
  • Para uma linha de transmissão com extremidade aberta (carga em circuito aberto), a impedância de entrada Z_{\text{in}} é dada por
Z_{\text{in}} = \mathrm{j}\,Z_0\,\tan(\beta l),
onde:
  • Z_{\text{in}} é a impedância vista na entrada da linha;
  • Z_0 é a impedância característica ( 80\\ \Omega aqui);
  • \beta é a constante de fase da linha, definida por \beta=\dfrac{2\pi}{\lambda};
  • l é o comprimento da linha;
  • \mathrm{j} é a unidade imaginária.
  • Interpretação física: a expressão quer dizer que a impedância de entrada é puramente imaginária (reatância) e proporcional a \tan(\beta l). Se \tan(\beta l)>0 a reatância é positiva (indutiva); se \tan(\beta l)<0 a reatância é negativa (capacitiva).
  • Logo, a reatância X_{\text{in}} (parte imaginária de Z_{\text{in}}) vale
X_{\text{in}} = Z_0\,\tan(\beta l).
Esse é o ponto de partida: resolver Z_0\tan(\beta l)=\pm200.

Passo 3

Preparar os cálculos numéricos básicos:
  • Calcular \beta:
\beta=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0,75}=\frac{8\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m}\approx 8,3776\\ \mathrm{rad/m}.
(Expliquei: basta dividir 2\pi por \lambda.)

Passo 4

Caso (a) — reatância indutiva X_{\text{in}}=+200\\ \Omega:
  • Escrever a equação:
Z_0\,\tan(\beta l)=200 \quad\Rightarrow\quad \tan(\beta l)=\frac{200}{80}=2{,}5.
  • Solução geral para \beta l: como \tan é periódica de período \pi,
\beta l = \arctan(2{,}5) + n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Tomando a menor solução positiva (escolha prática para a menor linha possível), escolhemos n=0. Calcular \arctan(2{,}5):
\arctan(2{,}5)\approx 1{,}19029\\ \mathrm{rad}.
  • Obter l:
l=\frac{\arctan(2{,}5)}{\beta}=\frac{1{,}19029}{8{,}3776}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}1420\\ \mathrm{m}=14{,}20\\ \mathrm{cm}.
  • Observação sobre múltiplas soluções: adicionar n\pi a \beta l corresponde a adicionar \dfrac{\pi}{\beta}=\dfrac{\lambda}{2}=0{,}375\\ \mathrm{m}=37{,}5\\ \mathrm{cm} a l. Assim as soluções são
l=14{,}20\\ \mathrm{cm}+n\cdot 37{,}5\\ \mathrm{cm},\quad n=0,1,2,\dots
mas a menor positiva é 14{,}20\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Caso (b) — reatância capacitiva X_{\text{in}}=-200\\ \Omega:
  • Escrever a equação:
Z_0\,\tan(\beta l)=-200 \quad\Rightarrow\quad \tan(\beta l)=-2{,}5.
  • Solução geral:
\beta l = \arctan(-2{,}5)+ n\pi = -\arctan(2{,}5)+n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Para obter a menor l>0 escolhemos n=1 (porque \arctan(-2{,}5) é negativo):
\beta l = \pi-\arctan(2{,}5)\approx 3{,}1415927-1{,}19029=1{,}95130\\ \mathrm{rad}.
  • Calcular l:
l=\frac{\pi-\arctan(2{,}5)}{\beta}=\frac{1{,}95130}{8{,}3776}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}2330\\ \mathrm{m}=23{,}30\\ \mathrm{cm}.
  • Observação sobre múltiplas soluções: novamente somar n\pi dá soluções adicionais a cada \lambda/2=37{,}5\\ \mathrm{cm}. Assim as soluções são
l=23{,}30\\ \mathrm{cm}+n\cdot 37{,}5\\ \mathrm{cm},\quad n=0,1,2,\dots
mas a menor positiva é 23{,}30\\ \mathrm{cm}.

Resposta

a) indutiva: 14{,}20\\ \mathrm{cm} (menor solução)
b) capacitiva: 23{,}30\\ \mathrm{cm} (menor solução)

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