O comprimento de onda de de Broglie de um elétron é
. Determine a energia do elétron (em eV), o momento e a velocidade.
Passo 1
O enunciado dá o comprimento de onda de de Broglie do elétron e pede três quantidades:
- energia do elétron (em eV);
- momento (momentum) do elétron;
- velocidade do elétron.
Informação dada:
- comprimento de onda:
.
Observações de conversão que vamos usar:
-
, portanto . - constantes físicas (valores numéricos que usarei):
- constante de Planck:
, - massa do elétron:
, - carga elementar:
(usada para converter joule para eV).
- constante de Planck:
Passo 2
Relação de de Broglie entre comprimento de onda e momento linear:
onde
é o momento linear (ou momentum) do elétron e
é a constante de Planck. Dessa relação isolamos
:
Agora substituímos os números (lembre que peguei
):
Calculemos:
Explicação rápida:
tem unidades de
porque
tem unidades
e ao dividir por metros sobra
.
Passo 3
Agora calculamos a energia cinética do elétron usando a aproximação não relativística (válida porque a velocidade resultante será muito menor que a velocidade da luz; vamos verificar isso depois). A energia cinética para uma partícula não relativística é
onde
é o momento do passo anterior e
é a massa do elétron.
Substituindo:
Calculando o numerador e o denominador e dividindo obtemos
Para converter para elétron-volts usamos
. Assim:
Comentário didático: existe uma forma prática muito usada para elétrons não relativísticos relacionando comprimento de onda em angström e energia em eV:
Inversamente,
Se inserir
obtém-se o mesmo resultado
. Essa fórmula vem de combinar
com
e convertendo unidades.
Passo 4
Agora determinamos a velocidade
. Para a aproximação não relativística vale
, logo
Usando
do Passo 2 e
conhecido:
Interpretação:
, ou cerca de
.
Passo 5
Verificação da validade da aproximação não relativística: a velocidade relativística limite é a velocidade da luz
. A razão é
ou seja,
. Logo a fórmula não relativística
é perfeitamente adequada e os valores calculados são confiáveis.