O comprimento de onda de de Broglie de um elétron é 85 \AA. Determine a energia do elétron (em eV), o momento e a velocidade.

Passo 1

O enunciado dá o comprimento de onda de de Broglie do elétron e pede três quantidades:
  • energia do elétron (em eV);
  • momento (momentum) do elétron;
  • velocidade do elétron.
Informação dada:
  • comprimento de onda: \lambda = 85\\ \text{\AA}.
Observações de conversão que vamos usar:
  • 1\\ \text{\AA} = 10^{-10}\\ \text{m}, portanto \lambda = 85\times10^{-10}\\ \text{m} = 8{,}5\times10^{-9}\\ \text{m}.
  • constantes físicas (valores numéricos que usarei):
    • constante de Planck: h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s},
    • massa do elétron: m_e = 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \text{kg},
    • carga elementar: e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{C} (usada para converter joule para eV).

Passo 2

Relação de de Broglie entre comprimento de onda e momento linear:
\lambda = \frac{h}{p},
onde p é o momento linear (ou momentum) do elétron e h é a constante de Planck. Dessa relação isolamos p:
p = \frac{h}{\lambda}.
Agora substituímos os números (lembre que peguei \lambda = 8{,}5\times10^{-9}\\ \text{m}):
p = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{8{,}5\times10^{-9}}\\ \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}.
Calculemos:
p \approx 7{,}79539\times10^{-26}\\ \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}.
Explicação rápida: p tem unidades de \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s} porque h tem unidades \text{J}\cdot\text{s}=\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} e ao dividir por metros sobra \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}.

Passo 3

Agora calculamos a energia cinética do elétron usando a aproximação não relativística (válida porque a velocidade resultante será muito menor que a velocidade da luz; vamos verificar isso depois). A energia cinética para uma partícula não relativística é
K = \frac{p^2}{2m_e},
onde p é o momento do passo anterior e m_e é a massa do elétron.
Substituindo:
K = \frac{(7{,}79539\times10^{-26})^2}{2\times 9{,}10938356\times10^{-31}}\\ \text{J}.
Calculando o numerador e o denominador e dividindo obtemos
K \approx 3{,}334\times10^{-21}\\ \text{J}.
Para converter para elétron-volts usamos 1\\ \text{eV} = e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J}. Assim:
K_{\text{(eV)}} = \frac{K}{e} = \frac{3{,}334\times10^{-21}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \text{eV} \approx 0{,}0208\\ \text{eV}.
Comentário didático: existe uma forma prática muito usada para elétrons não relativísticos relacionando comprimento de onda em angström e energia em eV:
\lambda(\text{\AA}) \approx \frac{12{,}27}{\sqrt{K(\text{eV})}}.
Inversamente,
K(\text{eV}) \approx \left(\frac{12{,}27}{\lambda(\text{\AA})}\right)^2.
Se inserir \lambda=85\\ \text{\AA} obtém-se o mesmo resultado K\approx(12{,}27/85)^2\approx0{,}0208\\ \text{eV}. Essa fórmula vem de combinar p=h/\lambda com K=p^2/(2m) e convertendo unidades.

Passo 4

Agora determinamos a velocidade v. Para a aproximação não relativística vale p = m_e v, logo
v = \frac{p}{m_e}.
Usando p do Passo 2 e m_e conhecido:
v = \frac{7{,}79539\times10^{-26}}{9{,}10938356\times10^{-31}}\\ \text{m}/\text{s} \approx 8{,}5536\times10^{4}\\ \text{m}/\text{s}.
Interpretação: v\approx 8{,}55\times10^{4}\\ \text{m/s}, ou cerca de 8{,}6\times10^{4}\\ \text{m/s}.

Passo 5

Verificação da validade da aproximação não relativística: a velocidade relativística limite é a velocidade da luz c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \text{m}/\text{s}. A razão é
\frac{v}{c}\approx\frac{8{,}55\times10^{4}}{3{,}00\times10^{8}}\approx 2{,}85\times10^{-4},
ou seja, v\ll c. Logo a fórmula não relativística K=p^2/(2m) é perfeitamente adequada e os valores calculados são confiáveis.

Resposta

K \approx 0{,}0208\\ \text{eV}
p \approx 7{,}7954\times10^{-26}\\ \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}
v \approx 8{,}5536\times10^{4}\\ \text{m}/\text{s}

Exercícios relacionados