De acordo com a física clássica, a energia média de um elétron em um gás de elétrons em equilíbrio térmico é
. Determine, para
, a energia média do elétron (em eV), o momento médio do elétron e o comprimento de onda de de Broglie.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para um elétron em um gás em equilíbrio térmico à temperatura
:
- a energia média do elétron (em eV);
- o momento linear médio do elétron (em
); - o comprimento de onda de de Broglie associado a esse momento (em metros e em nm).
Informações fornecidas e constantes físicas que vamos usar (todas extraídas do enunciado ou constantes padrão):
- Temperatura:
. - Energia média clássica de um elétron em equilíbrio térmico:
, onde é a constante de Boltzmann. - Constante de Boltzmann:
. - Carga elementar (para converter J em eV):
. - Massa do elétron:
. - Constante de Planck:
.
Passo 2
Calcular a energia média em joules usando a fórmula clássica.
Explicação curta: a expressão vem da equipartição de energia para partículas livres em três graus de liberdade de translação; cada grau de liberdade contribui com
.
Explicação curta: a expressão
Aplicando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Passo 3
Converter a energia média de joules para elétron-volts (eV).
Explicação curta: , então dividimos a energia em joules por
.
Explicação curta:
Fazendo a divisão:
Passo 4
Calcular o momento médio do elétron.
Motivação e derivação: a energia cinética média está relacionada ao momento por . Tomando a raiz quadrada e assumindo distribuição isotrópica, podemos usar
. A partir de
obtemos:
Motivação e derivação: a energia cinética média está relacionada ao momento por
Uma forma algebraicamente mais direta, usando
, é:
Substituindo os valores:
Calcule o produto interno:
então
(Arredondei para três algarismos significativos no resultado final do momento.)
Passo 5
Calcular o comprimento de onda de de Broglie associado ao momento.
Conceito: a relação de de Broglie diz que partículas com momento têm comprimento de onda
Conceito: a relação de de Broglie diz que partículas com momento
Usando
e
:
Fazendo a divisão:
É usual também expressar em nanômetros:
Passo 6
Resumo dos resultados (valores com arredondamento razoável e unidades):
- Energia média:
. - Momento rms:
. - Comprimento de onda de de Broglie:
.
Força final de incentivo: ficou meio técnico, eu sei — mas é só seguir as fórmulas passo a passo na prova e aplicar as constantes. Vai dar certo!