De acordo com a física clássica, a energia média de um elétron em um gás de elétrons em equilíbrio térmico é 3 k T / 2. Determine, para T=300 \mathrm{~K}, a energia média do elétron (em eV), o momento médio do elétron e o comprimento de onda de de Broglie.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para um elétron em um gás em equilíbrio térmico à temperatura T=300\\ \mathrm{K}:
  • a energia média do elétron (em eV);
  • o momento linear médio do elétron (em \mathrm{kg\cdot m/s});
  • o comprimento de onda de de Broglie associado a esse momento (em metros e em nm).
Informações fornecidas e constantes físicas que vamos usar (todas extraídas do enunciado ou constantes padrão):
  • Temperatura: T=300\\ \mathrm{K}.
  • Energia média clássica de um elétron em equilíbrio térmico: \langle E\rangle = \dfrac{3}{2} k T, onde k é a constante de Boltzmann.
  • Constante de Boltzmann: k=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
  • Carga elementar (para converter J em eV): e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}.
  • Massa do elétron: m_e=9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Constante de Planck: h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.

Passo 2

Calcular a energia média em joules usando a fórmula clássica.
Explicação curta: a expressão \langle E\rangle=\dfrac{3}{2}kT vem da equipartição de energia para partículas livres em três graus de liberdade de translação; cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}kT.
Aplicando a fórmula:
\langle E\rangle = \dfrac{3}{2}\,k\,T.
Substituindo os valores:
\langle E\rangle = \dfrac{3}{2}\times\left(1,380649\times10^{-23}\right)\times\left(300\right).
Calcule passo a passo:
kT = 1,380649\times10^{-23}\times300 = 4,141947\times10^{-21}\\ \mathrm{J},
\langle E\rangle = \dfrac{3}{2}\times4,141947\times10^{-21} = 6,2129205\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Converter a energia média de joules para elétron-volts (eV).
Explicação curta: 1\\ \mathrm{eV}=e\\ \mathrm{J}, então dividimos a energia em joules por e.
\langle E\rangle_{\mathrm{eV}} = \dfrac{\langle E\rangle}{e} = \dfrac{6,2129205\times10^{-21}}{1,602176634\times10^{-19}}.
Fazendo a divisão:
\langle E\rangle_{\mathrm{eV}} \approx 0,0388\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Calcular o momento médio do elétron.
Motivação e derivação: a energia cinética média está relacionada ao momento por \langle E\rangle = \dfrac{\langle p^{2}\rangle}{2m_e}. Tomando a raiz quadrada e assumindo distribuição isotrópica, podemos usar p_{\text{rms}}=\sqrt{\langle p^{2}\rangle}. A partir de \langle p^{2}\rangle = 2 m_e \langle E\rangle obtemos:
p_{\text{rms}} = \sqrt{2 m_e \langle E\rangle}.
Uma forma algebraicamente mais direta, usando \langle E\rangle=\tfrac{3}{2}kT, é:
p_{\text{rms}} = \sqrt{3 m_e k T}.
Substituindo os valores:
p_{\text{rms}} = \sqrt{3\times\left(9,10938356\times10^{-31}\right)\times\left(1,380649\times10^{-23}\right)\times\left(300\right)}.
Calcule o produto interno:
3 m_e k T = 1,131917707\times10^{-50}\\ (\mathrm{kg^{2}\,m^{2}/s^{2}}),
então
p_{\text{rms}} = \sqrt{1,131917707\times10^{-50}} \approx 1,063\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
(Arredondei para três algarismos significativos no resultado final do momento.)

Passo 5

Calcular o comprimento de onda de de Broglie associado ao momento.
Conceito: a relação de de Broglie diz que partículas com momento p têm comprimento de onda
\lambda = \dfrac{h}{p}.
Usando p=p_{\text{rms}} e h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}:
\lambda = \dfrac{6,62607015\times10^{-34}}{1,063\times10^{-25}}.
Fazendo a divisão:
\lambda \approx 6,236\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
É usual também expressar em nanômetros:
\lambda \approx 6,24\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Resumo dos resultados (valores com arredondamento razoável e unidades):
  • Energia média: \langle E\rangle \approx 6,2129\times10^{-21}\\ \mathrm{J} \approx 0,0388\\ \mathrm{eV}.
  • Momento rms: p_{\text{rms}} \approx 1,063\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Comprimento de onda de de Broglie: \lambda \approx 6,236\times10^{-9}\\ \mathrm{m} \approx 6,24\\ \mathrm{nm}.
Força final de incentivo: ficou meio técnico, eu sei — mas é só seguir as fórmulas passo a passo na prova e aplicar as constantes. Vai dar certo!

Resposta

\langle E\rangle = 6,2129\times10^{-21}\\ \mathrm{J} = 0,0388\\ \mathrm{eV}
p_{\text{rms}} = 1,063\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
\lambda = 6,236\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 6,24\\ \mathrm{nm}

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