Determine o comprimento de onda de de Broglie para:
um átomo de hidrogênio com energia cinética de
.
um átomo de hidrogênio com energia cinética de
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- Pedem o comprimento de onda de de Broglie de um átomo de hidrogênio cuja energia cinética é
. - Informação fornecida:
- Energia cinética:
.
- Energia cinética:
- Observações úteis que já valem como dados (serão usadas depois):
- A conversão entre elétron-volt e joule:
. - Valor da constante de Planck:
. - Massa aproximada do átomo de hidrogênio (próton + elétron):
.
- A conversão entre elétron-volt e joule:
- Pergunta explícita a responder: “Qual é o comprimento de onda de de Broglie
do átomo de hidrogênio com ?”
Passo 2
Conceito e fórmula de de Broglie (mini-aula curta e prática).
- Ideia física: ao tratarmos partículas como objetos quânticos, cada partícula livre com momento linear
tem associada uma onda de comprimento de onda dada por de Broglie. - Fórmula de de Broglie:
onde: -
é o comprimento de onda de de Broglie (em metros), -
é a constante de Planck (em ), -
é o momento linear da partícula (em ).
-
- Para uma partícula não relativística, a energia cinética
e o momento estão relacionados por: onde: -
é a massa da partícula (em kg).
-
- Isolando
obtemos: - Substituindo em
resulta: - Observação sobre a validade: essa expressão usa a aproximação não relativística. Ela é válida sempre que
. No nosso caso do hidrogênio é da ordem de , enquanto , logo a aproximação não relativística é perfeitamente apropriada.
Passo 3
Convertendo a energia dada para o SI (joule), porque
e
estão em unidades do SI.
- Converter
de elétron-volt para joule: - Calcular o valor numérico (faço a conta passo a passo):
Passo 4
Calcular o momento
usando
.
- Escrever a fórmula com os números:
com e . - Multiplicando dentro da raiz:
- Calculo aproximado passo a passo (mantendo notação científica):
- Agora a raiz:
Passo 5
Calcular o comprimento de onda
.
- Substituindo
e : - Fazendo a divisão:
- Converter para unidades mais familiares:
Passo 6
Interpretação curta e incentivo.
- Resultado: o comprimento de onda de de Broglie do átomo de hidrogênio com
é muito pequeno, da ordem de algumas dezenas de picômetros — comparável ao tamanho atômico. Isso faz sentido: partículas pesadas (átomos) têm comprimentos de onda menores que elétrons com a mesma energia. - Você conseguiu! Se precisar, posso repetir o cálculo com outra precisão ou mostrar como ficaria se fosse um elétron com a mesma energia (para comparação).