Determine o comprimento de onda de de Broglie para:
um átomo de hidrogênio com energia cinética de 1,2 \mathrm{eV}.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pedem o comprimento de onda de de Broglie de um átomo de hidrogênio cuja energia cinética é \,1,2\\ \mathrm{eV}.
  • Informação fornecida:
    • Energia cinética: K = 1,2\\ \mathrm{eV}.
  • Observações úteis que já valem como dados (serão usadas depois):
    • A conversão entre elétron-volt e joule: 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
    • Valor da constante de Planck: h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
    • Massa aproximada do átomo de hidrogênio (próton + elétron): m \approx 1,67353286\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Pergunta explícita a responder: “Qual é o comprimento de onda de de Broglie \lambda do átomo de hidrogênio com K=1,2\\ \mathrm{eV}?”

Passo 2

Conceito e fórmula de de Broglie (mini-aula curta e prática).
  • Ideia física: ao tratarmos partículas como objetos quânticos, cada partícula livre com momento linear \,p tem associada uma onda de comprimento de onda \lambda dada por de Broglie.
  • Fórmula de de Broglie: \lambda = \frac{h}{p},onde:
    • \lambda é o comprimento de onda de de Broglie (em metros),
    • h é a constante de Planck (em \mathrm{J\cdot s}),
    • p é o momento linear da partícula (em \mathrm{kg\cdot m/s}).
  • Para uma partícula não relativística, a energia cinética K e o momento p estão relacionados por: K = \frac{p^{2}}{2m},onde:
    • m é a massa da partícula (em kg).
  • Isolando p obtemos: p = \sqrt{2mK}.
  • Substituindo em \lambda = h/p resulta: \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}.
  • Observação sobre a validade: essa expressão usa a aproximação não relativística. Ela é válida sempre que K \ll mc^{2}. No nosso caso mc^{2} do hidrogênio é da ordem de 10^{9}\\ \mathrm{eV}, enquanto K=1,2\\ \mathrm{eV}, logo a aproximação não relativística é perfeitamente apropriada.

Passo 3

Convertendo a energia dada para o SI (joule), porque h e m estão em unidades do SI.
  • Converter K de elétron-volt para joule: K = 1,2\\ \mathrm{eV} = 1,2 \times 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Calcular o valor numérico (faço a conta passo a passo): K = 1,2 \times 1,602176634\times10^{-19} = 1,922611961\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular o momento p usando p=\sqrt{2mK}.
  • Escrever a fórmula com os números: p = \sqrt{2 \, m \, K}com m = 1,67353286\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} e K = 1,922611961\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Multiplicando dentro da raiz: 2mK = 2 \times 1,67353286\times10^{-27} \times 1,922611961\times10^{-19}.
  • Calculo aproximado passo a passo (mantendo notação científica): 2mK \approx 3,34706572\times10^{-27} \times 1,922611961\times10^{-19}
2mK \approx 6,43508\times10^{-46}\\ \mathrm{kg^{2}\,m^{2}/s^{2}}.
  • Agora a raiz: p = \sqrt{6,43508\times10^{-46}} \approx 2,537\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda = h/p.
  • Substituindo h e p: \lambda = \frac{6,62607015\times10^{-34}}{2,537\times10^{-23}}\\ \mathrm{m}.
  • Fazendo a divisão: \lambda \approx 2,6126\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para unidades mais familiares: \lambda \approx 2,61\times10^{-11}\\ \mathrm{m} = 0,0261\\ \mathrm{nm} = 26,1\\ \mathrm{pm}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo.
  • Resultado: o comprimento de onda de de Broglie do átomo de hidrogênio com 1,2\\ \mathrm{eV} é muito pequeno, da ordem de algumas dezenas de picômetros — comparável ao tamanho atômico. Isso faz sentido: partículas pesadas (átomos) têm comprimentos de onda menores que elétrons com a mesma energia.
  • Você conseguiu! Se precisar, posso repetir o cálculo com outra precisão ou mostrar como ficaria se fosse um elétron com a mesma energia (para comparação).

Resposta

\lambda \approx 2,61\times10^{-11}\\ \mathrm{m}

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