[Comprimento de Onda de de Broglie] Um elétron é acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial de 0,1 \mathrm{kV}. Determine o comprimento de onda de de Broglie associado a esse elétron.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda de de Broglie associado a um elétron que foi acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial de 0,1\\ \mathrm{kV}. Informações dadas:
\text{Diferença de potencial: }V=0,1\\ \mathrm{kV}.ç
Nada mais foi pedido além do comprimento de onda associado ao elétron.

Passo 2

Primeiro vamos transformar a unidade de forma clara: 0,1\\ \mathrm{kV} equivale a 0,1\times10^{3}\\ \mathrm{V}=100\\ \mathrm{V}. Então
V=100\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Conceito que usamos (explicadinho): de Broglie propôs que partículas com momento linear têm associado um comprimento de onda dado por
\lambda=\frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula. Aqui precisamos expressar o momento p em função da diferença de potencial V que acelerou o elétron.
Quando um elétron é acelerado por uma diferença de potencial V, a energia cinética adquirida é igual ao trabalho da força elétrica:
K=eV,
onde e é a carga elementar. Para movimento não relativístico (ok para 100\\ \mathrm{eV}, porque 100\\ \mathrm{eV}\ll 511\\ \mathrm{keV}, a energia de repouso do elétron), a relação entre energia cinética e momento é
K=\frac{p^{2}}{2m},
onde m é a massa do elétron. Daí
p=\sqrt{2mK}=\sqrt{2meV}.

Passo 4

Substituindo p na fórmula de de Broglie obtemos uma expressão prática:
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2meV}}.
Explico as quantidades aqui:
h=\text{constante de Planck }=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
m=\text{massa do elétron }=9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},é
e=\text{carga elementar }=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
e V em volts é 100\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Agora vamos calcular passo a passo os valores numéricos (faço tudo explicadinho para você copiar na prova):
Calcule primeiro a energia cinética em joules:
K=eV=(1,602176634\times10^{-19})\times(100)=1,602176634\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Calcule o termo dentro da raiz:
2mK=2\times(9,10938356\times10^{-31})\times(1,602176634\times10^{-17}).
Multiplicando os mantissas e somando expoentes:
2mK \approx 2,918968\times10^{-47}\\ \mathrm{(kg^{2} m^{2} s^{-2})}.
Agora calculo o momento:
p=\sqrt{2mK}\approx\sqrt{2,918968\times10^{-47}}\approx5,40418\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 6

Finalmente o comprimento de onda:
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6,62607015\times10^{-34}}{5,40418\times10^{-24}}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão:
\lambda\approx1,2265\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Arredondando com um número razoável de algarismos significativos (três algarismos):
\lambda\approx1,23\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0,123\\ \mathrm{nm}.

Resposta

1,23\times10^{-10}\\ \mathrm{m}

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