Os faróis de um automóvel aproximando-se estão separados por uma distância de 1,6 \mathrm{~m}. avalie a distância para a qual os faróis podem ser distinguidos a olho nu, considerando que a resolução do olho humano é determinada da mesma forma que qualquer instrumento ótico. Tome um comprimento de onda médio 0,55 \mu \mathrm{~m} e suponha que o diâmetro da pupila do olho seja de 4,0 \mathrm{~mm}. ( 9,5 \mathrm{~km} )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Informações fornecidas:
  • distância entre os faróis: \,1{,}6\\ \mathrm{m}\,,
  • comprimento de onda médio da luz: \,0{,}55\\ \mu\mathrm{m}\,,
  • diâmetro da pupila do olho: \,4{,}0\\ \mathrm{mm}\,.
Pergunta do problema:
  • avaliar a distância máxima R para a qual os dois faróis podem ser distinguidos a olho nu (ou seja, quando a separação angular entre eles atinge o limite de resolução do olho).

Passo 2

Qual é o critério de resolução que vamos usar e por quê? Vou explicar didaticamente.
  • Quando um instrumento ótico (a pupila do olho, que é uma abertura circular) tenta distinguir dois pontos próximos, a teoria da difração diz que há um limite fundamental de resolução. Para uma pupila circular usa-se o critério de Rayleigh.
  • O critério de Rayleigh afirma que o menor ângulo resolvível \theta (em radianos) é aproximadamente
\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (unidades de metro),
  • D é o diâmetro da abertura circular (aqui, a pupila) (unidades de metro).
  • A constante 1{,}22 vem da primeira zero da função de Bessel que descreve o padrão de difração de uma abertura circular; não precisamos derivar isso aqui, só conhecer o resultado.
  • Para dois objetos separados por uma distância física lateral s e situados a uma distância R do observador (com R muito maior que s), a separação angular entre eles (ângulo subtendido) é dada pela aproximação de pequeno ângulo:
\theta \approx \frac{s}{R}.
  • Igualando a capacidade angular do olho (critério de Rayleigh) com a separação angular dos faróis, obtemos a condição limite para distinguir os faróis:
\frac{s}{R} = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}.
  • Isolando R, a fórmula prática que vamos usar é
R = \frac{s\,D}{1{,}22\,\lambda}.
Explico: s é a separação física, D aumenta a capacidade de resolução (quanto maior a abertura, melhor), e \lambda reduz a capacidade (comprimentos de onda maiores dão pior resolução).

Passo 3

Converter unidades para o SI (metro) antes de calcular, e anotar os valores em forma pronta:
  • \,s = 1{,}6\\ \mathrm{m}\, (já em metros),
  • \,\lambda = 0{,}55\\ \mu\mathrm{m} = 0{,}55\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = 5{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\,,
  • \,D = 4{,}0\\ \mathrm{mm} = 4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\,.
Reescrevendo a fórmula com esses símbolos:
R = \frac{s\,D}{1{,}22\,\lambda}.

Passo 4

Fazer as contas passo a passo, sem pular etapas:
  1. Calcular o denominador 1{,}22\,\lambda:
1{,}22\,\lambda = 1{,}22 \times 5{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Primeiro 1{,}22\times5{,}5 = 6{,}71 (pois 1{,}22\times5 = 6{,}10 e 1{,}22\times0{,}5 = 0{,}61; soma 6{,}10+0{,}61=6{,}71). Então
1{,}22\,\lambda = 6{,}71\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  1. Calcular a razão \dfrac{D}{1{,}22\,\lambda}:
\frac{D}{1{,}22\,\lambda} = \frac{4{,}0\times10^{-3}}{6{,}71\times10^{-7}}.
Dividindo coeficientes e ajustando potências de 10:
\frac{4{,}0}{6{,}71}\times10^{-3-(-7)} = 0{,}596\times10^{4}\approx 5{,}96\times10^{3}.
(Observe: 4{,}0/6{,}71\approx0{,}596; e 10^{-3-(-7)}=10^{4}.)
  1. Finalmente, multiplicar por s=1{,}6\\ \mathrm{m}:
R = s\left(\frac{D}{1{,}22\,\lambda}\right) \approx 1{,}6\times 5{,}96\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
R \approx 9{,}536\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
  1. Converter para quilômetros e arredondar razoavelmente:
R \approx 9{,}536\\ \mathrm{km} \approx 9{,}5\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Interpretação e observações (motivação para confiança no resultado):
  • O valor calculado significa que, na condição ideal limitada apenas pela difração na pupila de diâmetro \,4{,}0\\ \mathrm{mm}\, e usando luz de \,0{,}55\\ \mu\mathrm{m}\,, dois faróis separados por \,1{,}6\\ \mathrm{m}\, poderiam ser distinguidos até cerca de \,9{,}5\\ \mathrm{km}\,.
  • Na prática, fatores como turbulência atmosférica, sujeira no ar, brilho e brilho de fundo, aberrações do olho, contraste dos objetos, piscadas e atenção do observador normalmente reduzem essa distância real. Ainda assim, o cálculo mostra o limite teórico pela difração.
  • Boa notícia: aplicamos uma fórmula simples (Rayleigh) + aproximação de pequeno ângulo; é um procedimento direto que dá resposta rápida na prova.

Resposta

9{,}5\\ \mathrm{km}

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