Os faróis de um automóvel aproximando-se estão separados por uma distância de
. avalie a distância para a qual os faróis podem ser distinguidos a olho nu, considerando que a resolução do olho humano é determinada da mesma forma que qualquer instrumento ótico. Tome um comprimento de onda médio
e suponha que o diâmetro da pupila do olho seja de
. (
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Informações fornecidas:
- distância entre os faróis:
, - comprimento de onda médio da luz:
, - diâmetro da pupila do olho:
.
Pergunta do problema:
- avaliar a distância máxima
para a qual os dois faróis podem ser distinguidos a olho nu (ou seja, quando a separação angular entre eles atinge o limite de resolução do olho).
Passo 2
Qual é o critério de resolução que vamos usar e por quê? Vou explicar didaticamente.
- Quando um instrumento ótico (a pupila do olho, que é uma abertura circular) tenta distinguir dois pontos próximos, a teoria da difração diz que há um limite fundamental de resolução. Para uma pupila circular usa-se o critério de Rayleigh.
- O critério de Rayleigh afirma que o menor ângulo resolvível
(em radianos) é aproximadamente
onde:
-
é o comprimento de onda da luz (unidades de metro), -
é o diâmetro da abertura circular (aqui, a pupila) (unidades de metro). - A constante
vem da primeira zero da função de Bessel que descreve o padrão de difração de uma abertura circular; não precisamos derivar isso aqui, só conhecer o resultado. - Para dois objetos separados por uma distância física lateral
e situados a uma distância do observador (com muito maior que ), a separação angular entre eles (ângulo subtendido) é dada pela aproximação de pequeno ângulo:
- Igualando a capacidade angular do olho (critério de Rayleigh) com a separação angular dos faróis, obtemos a condição limite para distinguir os faróis:
- Isolando
, a fórmula prática que vamos usar é
Explico:
é a separação física,
aumenta a capacidade de resolução (quanto maior a abertura, melhor), e
reduz a capacidade (comprimentos de onda maiores dão pior resolução).
Passo 3
Converter unidades para o SI (metro) antes de calcular, e anotar os valores em forma pronta:
-
(já em metros), -
, -
.
Reescrevendo a fórmula com esses símbolos:
Passo 4
Fazer as contas passo a passo, sem pular etapas:
- Calcular o denominador
:
Primeiro
(pois
e
; soma
). Então
- Calcular a razão
:
Dividindo coeficientes e ajustando potências de 10:
(Observe:
; e
.)
- Finalmente, multiplicar por
:
- Converter para quilômetros e arredondar razoavelmente:
Passo 5
Interpretação e observações (motivação para confiança no resultado):
- O valor calculado significa que, na condição ideal limitada apenas pela difração na pupila de diâmetro
e usando luz de , dois faróis separados por poderiam ser distinguidos até cerca de . - Na prática, fatores como turbulência atmosférica, sujeira no ar, brilho e brilho de fundo, aberrações do olho, contraste dos objetos, piscadas e atenção do observador normalmente reduzem essa distância real. Ainda assim, o cálculo mostra o limite teórico pela difração.
- Boa notícia: aplicamos uma fórmula simples (Rayleigh) + aproximação de pequeno ângulo; é um procedimento direto que dá resposta rápida na prova.