Uma diferença de potencial V_{0} é aplicada nas extremidades de um tubo cilíndrico de comprimento L e raio a que contém em seu interior um gás, inicialmente neutro e de densidade volumar é n. Devido a um processo externo de ionização é produzida uma corrente elétrica cujos portadores de carga são elétrons e íons positivos. Sabe-se que os elétrons tem carga q_{-}=-e e se movimentam com velocidade de arraste \vec{v}_{-}=-10 u_{0} \hat{x}, enquanto que os fons tem carga q_{+}=2 e e se movimentam com velocidade \vec{v}_{+}=u_{0} \hat{x}, sendo u_{0} una constante positiva. Nestas condições pode-se mostrar que a resistividade elétrica \rho apresentada pelo plasma, formado pela mistura de elétrons e ions no interior do tubo, ao movimento dos portadores de carga será dada por:

(0) \rho=\frac{\pi V_{0}}{16 n e L u_{0}}.
a) \rho=\frac{V_{0}}{18 n e L u_{0}}.
b) \rho=\frac{\pi a V_{0}}{20 n e L^{2} u_{0}}.
c) \rho=\frac{L V_{0}}{16 \pi a^{2} n e u_{0}}
d) \, p=\frac{2 \pi L V_{0}}{11 n e a^{2} u_{0}}.
e) \rho=\frac{3 \pi a V_{0}}{20 n e L^{2} u_{0}}.
f) \rho=\frac{V_{0}}{22 n e L u_{0}}.
h) \rho=\frac{4 \pi L V_{0}}{11 n e a^{2} u_{0}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a resistividade elétrica \rho do plasma dentro do tubo cilíndrico. Dados fornecidos (retirei-os da figura e do enunciado):
  • Diferença de potencial: \,V_{0}.
  • Comprimento do tubo: \,L.
  • Raio do tubo: \,a.
  • Densidade volumar do gás neutro inicial: \,n.
  • Cargas: \,q_{-}=-e (elétron) e \,q_{+}=2e (íon).
  • Velocidades de arraste (retiradas da figura): \,\vec{v}_{-}=-10\,u_{0}\,\hat{x} e \,\vec{v}_{+}=u_{0}\,\hat{x}, com \,u_{0}>0.
    Pergunta explícita: encontrar \rho (a resistividade elétrica do plasma) em função dessas grandezas.

Passo 2

Entender quantas partículas de cada tipo existem por unidade de volume após a ionização (condição de neutralidade elétrica do plasma).
  • Em um volume, a densidade inicial de átomos neutros é \,n. Após ionização cada átomo vira um íon (com carga +2e) e libera duas cargas negativas para manter neutralidade global (isto é compatível com os sinais e magnitudes das cargas dadas).
  • A condição de neutralidade elétrica local é
n_{+} q_{+} + n_{-} q_{-} = 0.
Substituindo q_{+}=2e e q_{-}=-e temos
2e\,n_{+} - e\,n_{-} = 0 \quad\Rightarrow\quad n_{-} = 2\,n_{+}.
  • Como cada átomo neutro gera um íon positivo, podemos tomar n_{+}=n. Portanto
n_{+}=n,\qquad n_{-}=2n.

Passo 3

Definir corrente elétrica e densidade de corrente. A densidade de corrente vetorial \vec{J} é a soma das contribuições de cada espécie de portadores:
\vec{J}=\sum_{i} q_{i} n_{i}\vec{v}_{i}.
Aqui só há duas espécies, então
\vec{J}=q_{+} n_{+}\vec{v}_{+} + q_{-} n_{-}\vec{v}_{-}.
Explico cada símbolo: \,q_{i} é a carga de cada partícula, \,n_{i} é a densidade numérica (partículas por volume) dessa espécie e \,\vec{v}_{i} é a velocidade média de arraste da espécie.

Passo 4

Calcular a componente x de \vec{J} usando os dados:
  • Para os íons positivos:
q_{+} n_{+} v_{+} = (2e)\,n\,(u_{0}) = 2 e n u_{0}.
  • Para os elétrons (atenção ao sinal da velocidade e da carga):
q_{-} n_{-} v_{-} = (-e)\,(2n)\,(-10 u_{0}) = (-e)(2n)(-10u_{0}) = 20 e n u_{0}.
Somando as duas contribuições (ambas na direção \hat{x}):
J_{x} = 2 e n u_{0} + 20 e n u_{0} = 22\,e\,n\,u_{0}.
Portanto a magnitude da densidade de corrente é
J = 22\,e\,n\,u_{0}.

Passo 5

Determinar o campo elétrico médio \vec{E} no interior do tubo. Para uma diferença de potencial \,V_{0} aplicada entre as extremidades separadas por comprimento \,L, o campo elétrico médio (assumindo campo uniforme) tem magnitude
E=\frac{V_{0}}{L},
na direção \hat{x} (ou oposta, dependendo do sinal de V_{0}, mas aqui apenas a magnitude é necessária para a resistividade).

Passo 6

Definir resistividade elétrica \rho. Para um material onde vale a forma local da lei de Ohm, a resistividade \rho é dada por
\rho=\frac{E}{J},
onde \,E é a magnitude do campo elétrico e \,J a magnitude da densidade de corrente. Substituindo E e J calculados:
\rho=\frac{V_{0}/L}{22\,e\,n\,u_{0}}=\frac{V_{0}}{22\,e\,n\,u_{0}\,L}.

Passo 7

Comparação com as opções: a expressão encontrada coincide com a opção f):
\boxed{\rho=\frac{V_{0}}{22\,n\,e\,L\,u_{0}}.}

Resposta

f) \rho=\dfrac{V_{0}}{22\,n\,e\,L\,u_{0}}

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