Uma diferença de potencial V_{0} é aplicada nas extremidades de um tubo cilíndrico de comprimento L e raio a que contém em seu interior um gás, inicialmente neutro e de densidade volumar é n. Devido a um processo externo de ionização é produzida uma corrente elétrica cujos portadores de carga são elétrons e íons positivos. Sabe-se que os elétrons tem carga q_{-}=-e e se movimentam com velocidade de arraste \vec{v}_{-}=-10 u_{0} \hat{x}, enquanto que os fons tem carga q_{+}=2 e e se movimentam com velocidade \vec{v}_{+}=u_{0} \hat{x}, sendo u_{0} una constante positiva. Nestas condições pode-se mostrar que a resistividade elétrica \rho apresentada pelo plasma, formado pela mistura de elétrons e ions no interior do tubo, ao movimento dos portadores de carga será dada por:
(0) \rho=\frac{\pi V_{0}}{16 n e L u_{0}}.
a) \rho=\frac{V_{0}}{18 n e L u_{0}}.
b) \rho=\frac{\pi a V_{0}}{20 n e L^{2} u_{0}}.
c) \rho=\frac{L V_{0}}{16 \pi a^{2} n e u_{0}}
d) \, p=\frac{2 \pi L V_{0}}{11 n e a^{2} u_{0}}.
e) \rho=\frac{3 \pi a V_{0}}{20 n e L^{2} u_{0}}.
f) \rho=\frac{V_{0}}{22 n e L u_{0}}.
h) \rho=\frac{4 \pi L V_{0}}{11 n e a^{2} u_{0}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar a resistividade elétrica \rho do plasma dentro do tubo cilíndrico. Dados fornecidos (retirei-os da figura e do enunciado):
Diferença de potencial: \,V_{0}.
Comprimento do tubo: \,L.
Raio do tubo: \,a.
Densidade volumar do gás neutro inicial: \,n.
Cargas: \,q_{-}=-e (elétron) e \,q_{+}=2e (íon).
Velocidades de arraste (retiradas da figura): \,\vec{v}_{-}=-10\,u_{0}\,\hat{x} e \,\vec{v}_{+}=u_{0}\,\hat{x}, com \,u_{0}>0.
Pergunta explícita: encontrar \rho (a resistividade elétrica do plasma) em função dessas grandezas.
Passo 2
Entender quantas partículas de cada tipo existem por unidade de volume após a ionização (condição de neutralidade elétrica do plasma).
Em um volume, a densidade inicial de átomos neutros é \,n. Após ionização cada átomo vira um íon (com carga +2e) e libera duas cargas negativas para manter neutralidade global (isto é compatível com os sinais e magnitudes das cargas dadas).
Explico cada símbolo: \,q_{i} é a carga de cada partícula, \,n_{i} é a densidade numérica (partículas por volume) dessa espécie e \,\vec{v}_{i} é a velocidade média de arraste da espécie.
Passo 4
Calcular a componente x de \vec{J} usando os dados:
Para os íons positivos:
q_{+} n_{+} v_{+} = (2e)\,n\,(u_{0}) = 2 e n u_{0}.
Para os elétrons (atenção ao sinal da velocidade e da carga):
q_{-} n_{-} v_{-} = (-e)\,(2n)\,(-10 u_{0}) = (-e)(2n)(-10u_{0}) = 20 e n u_{0}.
Somando as duas contribuições (ambas na direção \hat{x}):
J_{x} = 2 e n u_{0} + 20 e n u_{0} = 22\,e\,n\,u_{0}.
Portanto a magnitude da densidade de corrente é
J = 22\,e\,n\,u_{0}.
Passo 5
Determinar o campo elétrico médio \vec{E} no interior do tubo. Para uma diferença de potencial \,V_{0} aplicada entre as extremidades separadas por comprimento \,L, o campo elétrico médio (assumindo campo uniforme) tem magnitude
E=\frac{V_{0}}{L},
na direção \hat{x} (ou oposta, dependendo do sinal de V_{0}, mas aqui apenas a magnitude é necessária para a resistividade).
Passo 6
Definir resistividade elétrica \rho. Para um material onde vale a forma local da lei de Ohm, a resistividade \rho é dada por
\rho=\frac{E}{J},
onde \,E é a magnitude do campo elétrico e \,J a magnitude da densidade de corrente. Substituindo E e J calculados: