Qual o comprimento de onda de de-Broglie para:
um nêutron com energia cinética de 50 meV ;
um nêutron com energia cinética de 50 meV ;
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o comprimento de onda de de-Broglie de um nêutron cuja energia cinética é
.
Informações dadas e constantes que utilizarei (valores numéricos padrão):
- Partícula: nêutron, massa
. - Energia cinética dada:
. - Carga elementar (conversão de eV para J):
. - Constante de Planck:
.
Passo 2
Princípio físico e fórmulas básicas (explicadas com calma):
- A relação de de-Broglie liga comprimento de onda
ao momento linear pela fórmula
Aqui
é a constante de Planck e
é o momento linear da partícula (unidade
).
- Para uma partícula não-relativística, a energia cinética
está ligada ao momento por
Nesta fórmula:
-
é a energia cinética (em joules), -
é o momento linear, -
é a massa da partícula.
Isolando
obtemos
Substituindo em
teremos
Comentário didático e justificativa: aqui usamos a expressão clássica
porque a energia dada (
) é extremamente pequena frente à energia de repouso do nêutron (da ordem de
), logo a aproximação não-relativística é válida. Na prática, isso significa que não precisamos usar fórmulas relativísticas complicadas.
Passo 3
Converter a energia para joules (passo por passo, sem pular):
- Primeiro escrever
em eV:
- Converter para joules usando
:
Passo 4
Calcular o momento
explicitando os números:
- Primeiro calcular o produto
:
Fazendo a multiplicação numérica:
- Agora extraímos a raiz quadrada para obter
:
(Observação: mantive poucas casas significativas nas etapas numéricas para facilitar a conta; o processo é exatamente esse.)
Passo 5
Calcular o comprimento de onda
:
Fazendo a divisão:
É útil expressar esse valor em unidades mais comuns para comprimentos de onda de partículas:
Passo 6
Verificação e interpretação rápida:
- A ordem de grandeza é coerente com expectativas: nêutrons térmicos (algumas dezenas de meV) têm comprimentos de onda da ordem de 1 Å. Como
é maior que (energia térmica a ~300 K), o comprimento de onda fica menor que ~1,8 Å; o valor faz sentido. - A aproximação não-relativística é válida porque
é minúsculo comparado à energia de repouso do nêutron.
Força aí — você já sabe fazer isso na prova: converte a energia, usa
e depois
. Dá para resolver rápido se fizer os passos em ordem.