Qual o comprimento de onda de de-Broglie para:
um nêutron com energia cinética de 50 meV ;

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o comprimento de onda de de-Broglie de um nêutron cuja energia cinética é 50\\ \mathrm{meV}.
Informações dadas e constantes que utilizarei (valores numéricos padrão):
  • Partícula: nêutron, massa m_n = 1,67492749804\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Energia cinética dada: 50\\ \mathrm{meV}.
  • Carga elementar (conversão de eV para J): 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Constante de Planck: h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.

Passo 2

Princípio físico e fórmulas básicas (explicadas com calma):
  • A relação de de-Broglie liga comprimento de onda \lambda ao momento linear p pela fórmula
\lambda = \frac{h}{p}.
Aqui h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula (unidade \mathrm{kg\,m/s}).
  • Para uma partícula não-relativística, a energia cinética E está ligada ao momento por
E = \frac{p^{2}}{2m}.
Nesta fórmula:
  • E é a energia cinética (em joules),
  • p é o momento linear,
  • m é a massa da partícula.
Isolando p obtemos
p = \sqrt{2mE}.
Substituindo em \lambda = h/p teremos
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}.
Comentário didático e justificativa: aqui usamos a expressão clássica E=p^{2}/(2m) porque a energia dada ( 50\\ \mathrm{meV}) é extremamente pequena frente à energia de repouso do nêutron (da ordem de 10^{8}\\ \mathrm{eV}), logo a aproximação não-relativística é válida. Na prática, isso significa que não precisamos usar fórmulas relativísticas complicadas.

Passo 3

Converter a energia para joules (passo por passo, sem pular):
  • Primeiro escrever 50\\ \mathrm{meV} em eV:
50\\ \mathrm{meV} = 50\times10^{-3}\\ \mathrm{eV} = 0,05\\ \mathrm{eV}.
  • Converter para joules usando 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
E = 0,05\times1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 8,01088317\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular o momento p = \sqrt{2mE} explicitando os números:
  • Primeiro calcular o produto 2mE:
2mE = 2\times\bigl(1,67492749804\times10^{-27}\bigr)\times\bigl(8,01088317\times10^{-21}\bigr).
Fazendo a multiplicação numérica:
2mE \approx 2,68353\times10^{-47}\\ \mathrm{(kg^{2}\,m^{2}/s^{2})}.
  • Agora extraímos a raiz quadrada para obter p:
p = \sqrt{2mE} \approx \sqrt{2,68353\times10^{-47}} \approx 5,179\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
(Observação: mantive poucas casas significativas nas etapas numéricas para facilitar a conta; o processo é exatamente esse.)

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda = h/p:
\lambda = \frac{6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}}{5,179\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\,m/s}}.
Fazendo a divisão:
\lambda \approx 1,279\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
É útil expressar esse valor em unidades mais comuns para comprimentos de onda de partículas:
\lambda \approx 1,279\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 0,1279\\ \mathrm{nm} = 1,279\\ \text{\AA}.

Passo 6

Verificação e interpretação rápida:
  • A ordem de grandeza é coerente com expectativas: nêutrons térmicos (algumas dezenas de meV) têm comprimentos de onda da ordem de 1 Å. Como 50\\ \mathrm{meV} é maior que 25\\ \mathrm{meV} (energia térmica a ~300 K), o comprimento de onda fica menor que ~1,8 Å; o valor 1,279\\ \text{\AA} faz sentido.
  • A aproximação não-relativística é válida porque E é minúsculo comparado à energia de repouso do nêutron.
Força aí — você já sabe fazer isso na prova: converte a energia, usa p=\sqrt{2mE} e depois \lambda=h/p. Dá para resolver rápido se fizer os passos em ordem.

Resposta

\lambda \approx 1,279\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 1,279\\ \text{\AA}

Exercícios relacionados