Qual o comprimento de onda de de-Broglie para:
um elétron com energia cinética de 150 eV ;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda de de-Broglie para um elétron cuja energia cinética é 150\\ \mathrm{eV}.
Informações fornecidas:
  • Energia cinética do elétron: K=150\\ \mathrm{eV}.
Constantes que vou usar (valores padrão; tudo expresso em LaTeX):
  • Constante de Planck: h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Massa do elétron: m_e = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Conversão de elétron-volt para joule: 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
O que será calculado: o comprimento de onda \lambda associado ao elétron.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (aula rápida e intuitiva).
A relação de de-Broglie é
\lambda = \frac{h}{p},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda de de-Broglie (em metros),
  • h é a constante de Planck (em \mathrm{J\cdot s}),
  • p é o momento linear da partícula (em \mathrm{kg\cdot m/s}).
Para uma partícula não relativística (velocidade bem menor que a da luz), a energia cinética clássica se relaciona com o momento por
K = \frac{p^2}{2m_e}\quad\Longrightarrow\quad p=\sqrt{2m_e K}.
Vou verificar se a aproximação não-relativística é válida: a energia de repouso do elétron é cerca de m_e c^2\approx511000\\ \mathrm{eV}. Como 150\\ \mathrm{eV}\ll511000\\ \mathrm{eV}, a aproximação não-relativística é segura aqui.

Passo 3

Converter a energia cinética para joules e escrever p explicitamente.
Converter:
K = 150\\ \mathrm{eV} = 150\times1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 2,403264951\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Calcular o momento:
p=\sqrt{2m_e K}.
Substituindo os valores:
2m_e K = 2\times(9,10938356\times10^{-31})\times(2,403264951\times10^{-17}) =4,378452509\times10^{-47}\quad(\mathrm{kg^2\cdot m^2/s^2}).
Tomando a raiz quadrada:
p=\sqrt{4,378452509\times10^{-47}}=6,614089\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Observação rápida sobre unidades: dentro da raiz estava \mathrm{kg^2\cdot m^2/s^2}, cuja raiz dá \mathrm{kg\cdot m/s}, que é a unidade correta para momento.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda usando \lambda=h/p.
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6,62607015\times10^{-34}}{6,614089\times10^{-24}}=1,001817\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Converter para unidades mais usuais (nanômetros e picômetros):
1,001817\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0,10018\\ \mathrm{nm}=100,18\\ \mathrm{pm}.

Passo 5

Atalho útil para prova (fórmula prática): ao combinar as constantes e converter K em \mathrm{eV}, obtém-se frequentemente a fórmula aproximada
\lambda\\ (\mathrm{nm})\approx\frac{1,226}{\sqrt{K\\ (\mathrm{eV})}}.
Aplicando aqui:
\lambda\approx\frac{1,226}{\sqrt{150}}= \frac{1,226}{12,247}=0,1001\\ \mathrm{nm},
que coincide com o cálculo detalhado acima. Esse atalho é muito prático na prova quando a energia está em \mathrm{eV}.

Passo 6

Resumo didático e encorajamento: o procedimento padrão é
  • converter energia para joules (se usar a fórmula completa),
  • calcular p=\sqrt{2mK},
  • usar \lambda=h/p.
    Se a energia estiver em \mathrm{eV}, decorando a constante do atalho \lambda(\mathrm{nm})\approx1,226/\sqrt{K(\mathrm{eV})} poupa tempo. Você mandou bem pedindo passo a passo — assim na prova fica tranquilo. Vamos nessa!

Resposta

\lambda\approx1,00\times10^{-10}\\ \mathrm{m} (ou 0,100\\ \mathrm{nm} 100,2\\ \mathrm{pm})

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