O comprimento das peças produzidas por uma máquina é normalmente distribuído. Uma amostra aleatória de 10 peças apresentou os seguintes valores em milímetros: 8, 75 ; 8,72 ; 8,73 ; 8,76; 8, 78 ; 8,74 ; 8,73 ; 8,77 ; 8,74 ; 8,72. Construa um intervalo com 95 \% para o comprimento médio das peças produzidas por esta máquina.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de 10 peças (comprimentos em milímetros) e pede que eu construa um intervalo de confiança de 95\% para o comprimento médio da população. Os dados são:
8,75,\;8,72,\;8,73,\;8,76,\;8,78,\;8,74,\;8,73,\;8,77,\;8,74,\;8,72.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
n=10
A tarefa: construir um intervalo de confiança de 95\% para a média \mu do comprimento.

Passo 2

Vou calcular a média amostral \bar{x}. Primeiro somo os dados (peguei esses valores do enunciado):
\sum_{i=1}^{10} x_i = 8,75+8,72+8,73+8,76+8,78+8,74+8,73+8,77+8,74+8,72 = 87,44.
A média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{87,44}{10}=8,744.
Interpretação rápida: \bar{x}=8,744 mm é a melhor estimativa pontual para a média verdadeira \mu.

Passo 3

Agora preciso da variabilidade dos dados: a variância amostral e o desvio-padrão amostral. Vou usar a definição clássica (amostra):
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2, \qquad s=\sqrt{s^2}.
Para não perder o fio, calculei as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados (tudo usando os valores dados na amostra). A soma dos quadrados das diferenças que obtive é
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 = 0,00384.
Portanto
s^2=\frac{0,00384}{9}=0,000426\overline{6}\approx 0,0004267,
e
s=\sqrt{0,0004267}\approx 0,02066\\ \text{mm}.
Explicação curta do que isso significa: s mede a dispersão das peças em torno da média amostral; quanto maior s, maior a incerteza sobre \mu.

Passo 4

Qual fórmula usar para o intervalo de confiança? Como a população é normalmente distribuída (dado no enunciado), mas a variância populacional \sigma^2 é desconhecida e a amostra é pequena ( n=10), devemos usar a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (estimativa pontual),
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da t com n-1 graus de liberdade (para 95% temos \alpha=0,05),
  • s é o desvio-padrão amostral,
  • \sqrt{n} é a raiz do tamanho amostral e \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média.

Passo 5

Precisamos do valor crítico t para nível 95\% com n-1=9 graus de liberdade. Consultando a tabela da t (ou calculadora), tenho
t_{0,975,\,9}=2,262.
Agora calculo o erro padrão da média:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,02066}{\sqrt{10}}=\frac{0,02066}{3,1623}\approx 0,00654\\ \text{mm}.
Margem de erro:
\text{ME}=t_{0,975,9}\cdot\text{SE}=2,262\cdot 0,00654\approx 0,0148\\ \text{mm}.

Passo 6

Construo o intervalo somando/subtraindo a margem de erro à média amostral:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{ME}=8,744-0,0148=8,7292,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{ME}=8,744+0,0148=8,7588.
Arredondando de forma prática (três casas decimais, coerente com a precisão dos cálculos):
\text{Intervalo de confiança de }95\%:\\ (8,729\\ \text{mm},\\\ 8,759\\ \text{mm}).ç
Interpretação curta e motivação: isso significa que, com nível de confiança de 95\%, o intervalo acima contém o verdadeiro comprimento médio \mu das peças produzidas por essa máquina — ou seja, tenho bastante confiança de que \mu está entre aproximadamente 8,729 mm e 8,759 mm.

Resposta

\\ (8,729\\ \text{mm},\\\ 8,759\\ \text{mm})

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