O comprimento das peças produzidas por uma máquina é normalmente distribuído. Uma amostra aleatória de 10 peças apresentou os seguintes valores em milímetros: 8,
; 8,
. Construa um intervalo com
para o comprimento médio das peças produzidas por esta máquina.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória de
peças (comprimentos em milímetros) e pede que eu construa um intervalo de confiança de
para o comprimento médio da população. Os dados são:
Informações relevantes que extraí do enunciado:
A tarefa: construir um intervalo de confiança de
para a média
do comprimento.
Passo 2
Vou calcular a média amostral
. Primeiro somo os dados (peguei esses valores do enunciado):
A média amostral é
Interpretação rápida:
mm é a melhor estimativa pontual para a média verdadeira
.
Passo 3
Agora preciso da variabilidade dos dados: a variância amostral e o desvio-padrão amostral. Vou usar a definição clássica (amostra):
Para não perder o fio, calculei as diferenças
e seus quadrados (tudo usando os valores dados na amostra). A soma dos quadrados das diferenças que obtive é
Portanto
e
Explicação curta do que isso significa:
mede a dispersão das peças em torno da média amostral; quanto maior
, maior a incerteza sobre
.
Passo 4
Qual fórmula usar para o intervalo de confiança? Como a população é normalmente distribuída (dado no enunciado), mas a variância populacional
é desconhecida e a amostra é pequena (
), devemos usar a distribuição
de Student. A fórmula do intervalo de confiança de nível
para a média é
Aqui:
-
é a média amostral (estimativa pontual), -
é o quantil da com graus de liberdade (para 95% temos ), -
é o desvio-padrão amostral, -
é a raiz do tamanho amostral e é o erro padrão da média.
Passo 5
Precisamos do valor crítico
para nível
com
graus de liberdade. Consultando a tabela da
(ou calculadora), tenho
Agora calculo o erro padrão da média:
Margem de erro:
Passo 6
Construo o intervalo somando/subtraindo a margem de erro à média amostral:
Arredondando de forma prática (três casas decimais, coerente com a precisão dos cálculos):
Interpretação curta e motivação: isso significa que, com nível de confiança de
, o intervalo acima contém o verdadeiro comprimento médio
das peças produzidas por essa máquina — ou seja, tenho bastante confiança de que
está entre aproximadamente
mm e
mm.