Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta 3 vezes. Para cada lançamento, se sair cara você ganha 1 ponto, caso saia coroa, você perde um ponto. Determine a função probabilidade da média e da variância dos pontos ganhos (distribuição amostra).

Passo 1

O enunciado diz: lançamos uma moeda honesta \,3 vezes. Para cada lançamento, se sair cara você ganha +1 ponto; se sair coroa você ganha -1 ponto. Preciso determinar a função probabilidade (pmf) da média amostral dos pontos e da variância amostral dos pontos (ou seja, as distribuições de probabilidade de \bar{X} e de S^{2}).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Número de lançamentos (tamanho da amostra): n=3.\n
  • Cada variável aleatória do lançamento vale +1 com probabilidade 1/2 (cara) e -1 com probabilidade 1/2 (coroa).\n
  • Queremos a distribuição da média amostral \bar{X} e da variância amostral S^{2} (usar a definição usual de variância amostral com denominador n-1).\n
    Não se resolve aqui; só organizei o que foi pedido e o que temos.

Passo 2

Defino as variáveis e uma estratégia simples: seja X_{1},X_{2},X_{3} os pontos obtidos nos três lançamentos (cada um vale \pm 1). A soma dos pontos é
S = X_{1}+X_{2}+X_{3}.
É mais fácil contar o número de caras k observadas, com k\in\{0,1,2,3\}. Se houver k caras então há 3-k coroas, logo
S = k\cdot(+1) + (3-k)\cdot(-1) = 2k-3.
A média amostral é
\bar{X}=\frac{S}{3}=\frac{2k-3}{3}.
A probabilidade de ocorrer exatamente k caras em 3 lançamentos é binomial:
\mathbb{P}(K=k)=\binom{3}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\frac{\binom{3}{k}}{8}.
Portanto a distribuição de \bar{X} será obtida mapeando cada k para \bar{X} e atribuindo a probabilidade \binom{3}{k}/8.

Passo 3

Calculo explicitamente os valores possíveis de \bar{X} e suas probabilidades, usando os k já identificados:
  • Se k=0 (nenhuma cara): \bar{X}=\dfrac{2\cdot 0-3}{3}=-1 com probabilidade \dfrac{\binom{3}{0}}{8}=\dfrac{1}{8}.
  • Se k=1: \bar{X}=\dfrac{2\cdot 1-3}{3}=-\dfrac{1}{3} com probabilidade \dfrac{\binom{3}{1}}{8}=\dfrac{3}{8}.
  • Se k=2: \bar{X}=\dfrac{2\cdot 2-3}{3}=\dfrac{1}{3} com probabilidade \dfrac{\binom{3}{2}}{8}=\dfrac{3}{8}.
  • Se k=3: \bar{X}=\dfrac{2\cdot 3-3}{3}=1 com probabilidade \dfrac{\binom{3}{3}}{8}=\dfrac{1}{8}.\n
    Assim já temos a função de probabilidade (pmf) de \bar{X}. Como checagem didática rápida: a esperança da distribuição original de cada X_{i} é
\mathbb{E}[X_{i}]=(+1)\cdot\tfrac{1}{2}+(-1)\cdot\tfrac{1}{2}=0
e a variância de cada X_{i} é
\operatorname{Var}(X_{i})=\mathbb{E}[X_{i}^{2}]-\mathbb{E}[X_{i}]^{2}=1-0=1.
Pelo fato de X_{1},X_{2},X_{3} serem independentes, \mathbb{E}[\bar{X}]=0 e \operatorname{Var}(\bar{X})=\dfrac{1}{3}. Isso é coerente com a pmf que encontramos (pode-se verificar computando \sum x\cdot p(x) e \sum x^{2}\cdot p(x)-(\mathbb{E}[\bar X])^{2}).

Passo 4

Agora a variância amostral. Definimos a variância amostral usual (estimador não viesado) por
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2},
aqui com n=3 o denominador é 2. Vamos calcular S^{2} em função de k (o número de caras):
  • Se k=0: todos os X_{i}=-1, então \bar{X}=-1 e cada X_{i}-\bar{X}=0. Logo \sum (X_{i}-\bar{X})^{2}=0 e
S^{2}=0.
  • Se k=3: simetricamente todos X_{i}=+1, então \bar{X}=1 e também \sum (X_{i}-\bar{X})^{2}=0, logo
S^{2}=0.
  • Se k=1: há uma observação +1 e duas observações -1. Já encontramos \bar{X}=-\tfrac{1}{3}. As diferenças são: para a cara +1-\big(-\tfrac{1}{3}\big)=\tfrac{4}{3} (quadrado \tfrac{16}{9}) e para cada coroa -1-\big(-\tfrac{1}{3}\big)=-\tfrac{2}{3} (quadrado \tfrac{4}{9} cada). Soma dos quadrados:
\sum (X_{i}-\bar{X})^{2}=\frac{16}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}.
Dividindo por n-1=2:
S^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}=\frac{4}{3}.
  • Se k=2: situação simétrica a k=1. Tem-se \bar{X}=\tfrac{1}{3}. A coroa contribui com (-1-\tfrac{1}{3})^{2}=( -\tfrac{4}{3})^{2}=\tfrac{16}{9} e cada cara com (1-\tfrac{1}{3})^{2}=(\tfrac{2}{3})^{2}=\tfrac{4}{9}. Soma igual a \tfrac{8}{3} e portanto
S^{2}=\frac{4}{3}.

Passo 5

Agora associamos probabilidades às massas de S^{2}, usando as probabilidades de k:
  • Valor S^{2}=0 ocorre quando k=0 ou k=3. Probabilidade
\mathbb{P}(S^{2}=0)=\mathbb{P}(K=0)+\mathbb{P}(K=3)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}.
  • Valor S^{2}=\tfrac{4}{3} ocorre quando k=1 ou k=2. Probabilidade
\mathbb{P}\!\left(S^{2}=\tfrac{4}{3}\right)=\mathbb{P}(K=1)+\mathbb{P}(K=2)=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{4}.
Como checagem: a esperança do estimador S^{2} é a variância verdadeira da população (o estimador com denominador n-1 é não viesado). Aqui a variância verdadeira de cada X_{i} é 1, e
\mathbb{E}[S^{2}]=0\cdot\frac{1}{4}+\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}=1,
confirmando a propriedade de não viesado e coerência numérica.

Resposta

\bar{X} assume os valores -1,-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},1 com probabilidades
\mathbb{P}(\bar{X}=-1)=\tfrac{1}{8},\quad \mathbb{P}\big(\bar{X}=-\tfrac{1}{3}\big)=\tfrac{3}{8},\quad \mathbb{P}\big(\bar{X}=\tfrac{1}{3}\big)=\tfrac{3}{8},\quad \mathbb{P}(\bar{X}=1)=\tfrac{1}{8}.
S^{2} assume os valores 0 e \tfrac{4}{3} com probabilidades
\mathbb{P}(S^{2}=0)=\tfrac{1}{4},\quad \mathbb{P}\!\left(S^{2}=\tfrac{4}{3}\right)=\tfrac{3}{4}.

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