Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta 3 vezes. Para cada lançamento, se sair cara você ganha 1 ponto, caso saia coroa, você perde um ponto. Determine a função probabilidade da média e da variância dos pontos ganhos (distribuição amostra).
Passo 1
O enunciado diz: lançamos uma moeda honesta
vezes. Para cada lançamento, se sair cara você ganha
ponto; se sair coroa você ganha
ponto. Preciso determinar a função probabilidade (pmf) da média amostral dos pontos e da variância amostral dos pontos (ou seja, as distribuições de probabilidade de
e de
).\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Número de lançamentos (tamanho da amostra):
.\n - Cada variável aleatória do lançamento vale
com probabilidade (cara) e com probabilidade (coroa).\n - Queremos a distribuição da média amostral
e da variância amostral (usar a definição usual de variância amostral com denominador ).\n
Não se resolve aqui; só organizei o que foi pedido e o que temos.
Passo 2
Defino as variáveis e uma estratégia simples: seja
os pontos obtidos nos três lançamentos (cada um vale
). A soma dos pontos é
É mais fácil contar o número de caras
observadas, com
. Se houver
caras então há
coroas, logo
A média amostral é
A probabilidade de ocorrer exatamente
caras em
lançamentos é binomial:
Portanto a distribuição de
será obtida mapeando cada
para
e atribuindo a probabilidade
.
Passo 3
Calculo explicitamente os valores possíveis de
e suas probabilidades, usando os
já identificados:
- Se
(nenhuma cara): com probabilidade . - Se
: com probabilidade . - Se
: com probabilidade . - Se
: com probabilidade .\n
Assim já temos a função de probabilidade (pmf) de. Como checagem didática rápida: a esperança da distribuição original de cada é
e a variância de cada
é
Pelo fato de
serem independentes,
e
. Isso é coerente com a pmf que encontramos (pode-se verificar computando
e
).
Passo 4
Agora a variância amostral. Definimos a variância amostral usual (estimador não viesado) por
aqui com
o denominador é
. Vamos calcular
em função de
(o número de caras):
- Se
: todos os , então e cada . Logo e
- Se
: simetricamente todos , então e também , logo
- Se
: há uma observação e duas observações . Já encontramos . As diferenças são: para a cara (quadrado ) e para cada coroa (quadrado cada). Soma dos quadrados:
Dividindo por
:
- Se
: situação simétrica a . Tem-se . A coroa contribui com e cada cara com . Soma igual a e portanto
Passo 5
Agora associamos probabilidades às massas de
, usando as probabilidades de
:
- Valor
ocorre quando ou . Probabilidade
- Valor
ocorre quando ou . Probabilidade
Como checagem: a esperança do estimador
é a variância verdadeira da população (o estimador com denominador
é não viesado). Aqui a variância verdadeira de cada
é
, e
confirmando a propriedade de não viesado e coerência numérica.