An engineer is interested in the effect of cutting speed (A), metal hardness (B), and cutting angle \text{(C)} on the life of a cutting tool. Two levels of each factor are chosen, and two replicates of a 2^{3} factorial design are run. The tool life data (in hours) are shown in the following table.
Treatment
Combination
Replicate
I II
(1) 221 311
a 325 435
b 354 348
a b 552 472
c 440 453
a c 406 377
b c 605 500
a b c 392 419
(a) Analyze the data from this experiment.
(b) Find an appropriate regression model that explains tool life in terms of the variables used in the experiment.
(c) Analyze the residuals from this experiment.

Passo 1

Vou traduzir claramente o que o enunciado pede e listar os dados fornecidos (tudo retirado da tabela que você mandou). Temos três fatores binários: velocidade de corte A, dureza do metal B e ângulo de corte C. Foram feitas duas réplicas para cada uma das 2^{3}=8 combinações de níveis. O que se pede:
  1. (a) Analisar os dados (ou seja, identificar efeitos importantes, fazer ANOVA).
  2. (b) Encontrar um modelo de regressão apropriado para a vida da ferramenta em função dos fatores.
  3. (c) Analisar os resíduos do experimento.
Dados (cada par é réplica I e II; eu peguei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{lcc} \text{Tratamento} & \text{Réplica I} & \text{Réplica II}\\hline (1) & 221 & 311\\\ a & 325 & 435\\\ b & 354 & 348\\\ ab & 552 & 472\\\ c & 440 & 453\\\ ac & 406 & 377\\\ bc & 605 & 500\\\ abc & 392 & 419 \end{array}éé
Observações importantes extraídas da tabela:
  • Cada combinação tem duas observações (duas réplicas).
  • Notação: por exemplo, a = nível alto de A (os outros fatores no nível baixo), ab = A e B no nível alto, c = C no nível alto, etc.
    A partir daqui a resolução começa com o cálculo das médias, efeitos, ANOVA e análise de resíduos.

Passo 2

Vou transformar os dados em médias por combinação (útil porque há nº igual de réplicas). Calculei a média de cada tratamento (peguei os dois valores da tabela e fiz a média):
\begin{aligned} \bar y_{(1)} &= \frac{221+311}{2} = 266,\\\ \bar y_{a} &= \frac{325+435}{2} = 380,\\\ \bar y_{b} &= \frac{354+348}{2} = 351,\\\ \bar y_{ab} &= \frac{552+472}{2} = 512,\\\ \bar y_{c} &= \frac{440+453}{2} = 446{,}5,\\\ \bar y_{ac} &= \frac{406+377}{2} = 391{,}5,\\\ \bar y_{bc} &= \frac{605+500}{2} = 552{,}5,\\\ \bar y_{abc} &= \frac{392+419}{2} = 405{,}5. \end{aligned}
Agora o valor médio geral (grand mean), que é a média de todas as 16 observações (equivalente à média das 8 médias pois há mesmas réplicas):
\bar y_{..} = \frac{266+380+351+512+446{,}5+391{,}5+552{,}5+405{,}5}{8} = 413{,}125.

Passo 3

Explico como medir efeitos num projeto 2^3 e calculo os efeitos principais e de interação. Convenção: codificamos níveis baixos como -1 e níveis altos como +1. A estimativa do efeito (tamanho da mudança de -1 para +1) para um fator num 2^3 com médias por tratamento é dada por
\text{efeito} = \frac{1}{2^{k-1}}\sum (\text{codificação}\times \bar y_{\text{tratamento}}),çã
onde k=3 então o fator é \frac{1}{4} vezes a soma com sinais +\!/ - conforme presença do fator. Vou listar os sinais para cada tratamento (ordem: (1),a,b,ab,c,ac,bc,abc):
  • Para A: -,+,-,+,-,+,-,+.
  • Para B: -,-,+,+,-,-,+,+.
  • Para C: -,-,-,-,+,+,+,+.
  • Para AB: +,-,-,+,+,-,-,+.
  • Para AC: +,-,+,-,-,+,-,+.
  • Para BC: +,+,-,-,-,-,+,+.
  • Para ABC: -,+,+,-,+,-,-,+.
Faço a soma ponderada ( \sum \text{cod} \cdot \bar y) e divido por 4. Cálculos (mostro as somas e o efeito final):
\begin{aligned} \sum_{i}A_i\bar y_i &= (-1)266+1\cdot380-1\cdot351+1\cdot512-1\cdot446{,}5+1\cdot391{,}5-1\cdot552{,}5+1\cdot405{,}5 = 73,\\\ \text{efeito }A &= \frac{73}{4} = 18{,}25. \end{aligned}
\begin{aligned} \sum_{i}B_i\bar y_i &= -266-380+351+512-446{,}5-391{,}5+552{,}5+405{,}5 = 337,\\\ \text{efeito }B &= \frac{337}{4} = 84{,}25. \end{aligned}
\begin{aligned} \sum_{i}C_i\bar y_i &= -266-380-351-512+446{,}5+391{,}5+552{,}5+405{,}5 = 287,\\\ \text{efeito }C &= \frac{287}{4} = 71{,}75. \end{aligned}
Interações:
\begin{aligned} \sum_{i}AB_i\bar y_i &= -45,\quad &\text{efeito }AB&=\frac{-45}{4}=-11{,}25,\\\ \sum_{i}AC_i\bar y_i &= -477,\quad &\text{efeito }AC&=\frac{-477}{4}=-119{,}25,\\\ \sum_{i}BC_i\bar y_i &= -97,\quad &\text{efeito }BC&=\frac{-97}{4}=-24{,}25,\\\ \sum_{i}ABC_i\bar y_i &= -139,\quad &\text{efeito }ABC&=\frac{-139}{4}=-34{,}75. \end{aligned}
Interpretação didática rápida:
  • O efeito de B é grande e positivo: quando B passa de baixo para alto, a vida média aumenta cerca de 84{,}25 horas.
  • O efeito de C também é grande ( 71{,}75).
  • A interação AC é grande em magnitude e negativa ( -119{,}25), indicando que o efeito de A depende fortemente do nível de C (ou vice-versa).
  • Os outros efeitos são menores.

Passo 4

Ligando esses efeitos ao modelo de regressão em variáveis codificadas x_A,x_B,x_C\in\{-1,+1\}:
  • No modelo linear com todas as interações possíveis,
y = \beta_0 + \beta_A x_A + \beta_B x_B + \beta_C x_C + \beta_{AB}x_Ax_B + \beta_{AC}x_Ax_C + \beta_{BC}x_Bx_C + \beta_{ABC}x_Ax_Bx_C + \varepsilon.
Relação entre efeitos (definidos antes) e os coeficientes \beta: com codificação \pm1, a diferença entre +1 e -1 é 2\beta_j. Assim
\beta_j = \frac{\text{efeito}_j}{2}.
Calculo os coeficientes (cada \beta é metade do efeito):
\begin{aligned} \beta_0 &= \bar y_{..} = 413{,}125,\\\ \beta_A &= \frac{18{,}25}{2} = 9{,}125,\\\ \beta_B &= \frac{84{,}25}{2} = 42{,}125,\\\ \beta_C &= \frac{71{,}75}{2} = 35{,}875,\\\ \beta_{AB} &= \frac{-11{,}25}{2} = -5{,}625,\\\ \beta_{AC} &= \frac{-119{,}25}{2} = -59{,}625,\\\ \beta_{BC} &= \frac{-24{,}25}{2} = -12{,}125,\\\ \beta_{ABC} &= \frac{-34{,}75}{2} = -17{,}375. \end{aligned}

Passo 5

Agora construo a ANOVA a partir dos contrastes (forma padrão para 2^k). Primeiro obtenho o somatório dos quadrados de erro “pure error” pela variação entre réplicas (cada tratamento tem 2 réplicas). Para cada tratamento com medidas y_1,y_2,
\text{SS}_{\text{within,trat}} = (y_1-\bar y)^2 + (y_2-\bar y)^2 = \frac{(y_1-y_2)^2}{2}.
Calculei a soma destes valores para os 8 tratamentos (peguei as diferenças das réplicas da tabela):
\text{SSE (erro puro)} = 19700,\quad \text{df}_{\text{erro}}=8.
Logo
\text{MSE} = \frac{19700}{8} = 2462{,}5.
Para cada efeito podemos calcular a soma de quadrados a partir do contraste sobre as 16 observações. Fórmula prática:
\text{SS}_{j} = \frac{C_j^2}{N},
onde C_j=\sum_{i=1}^{N} x_{j,i} y_i (soma sobre as 16 observações) e N=16. Como eu já tinha \sum(\text{cod}\cdot\bar y) para as 8 médias, o contraste sobre as 16 observações é o dobro daquele valor (pois há 2 réplicas): C_j = 2\sum(\text{cod}\cdot\bar y). Usei isso para calcular as somas de quadrados. Resultados:
\begin{aligned} \text{SS}_A &= 1332{,}25,\\\ \text{SS}_B &= 28392{,}25,\\\ \text{SS}_C &= 20592{,}25,\\\ \text{SS}_{AB} &= 506{,}25,\\\ \text{SS}_{AC} &= 56882{,}25,\\\ \text{SS}_{BC} &= 2352{,}25,\\\ \text{SS}_{ABC} &= 4830{,}25. \end{aligned}
Total regressão (soma desses SS) = 114887{,}75. Soma total = regressão + erro = 114887{,}75 + 19700 = 134587{,}75 (com N-1=15 graus de liberdade).
Faço o teste F para cada efeito (cada um tem 1 grau de liberdade); F=\text{SS}_j/\text{MSE}:
\begin{aligned} F_A &= \frac{1332{,}25}{2462{,}5} \approx 0{,}54,\\\ F_B &= \frac{28392{,}25}{2462{,}5} \approx 11{,}53,\\\ F_C &= \frac{20592{,}25}{2462{,}5} \approx 8{,}37,\\\ F_{AB} &= 0{,}21,\quad F_{AC}= \frac{56882{,}25}{2462{,}5}\approx 23{,}11,\\\ F_{BC} &= 0{,}96,\quad F_{ABC}\approx 1{,}96. \end{aligned}
Tomando nível de significância \alpha=0{,}05 (teste usual), o valor crítico F_{(1,8;0{,}05)}\approx 5{,}32. Portanto os efeitos significativos são:
  • B (pois F_B\approx 11{,}53>5{,}32),
  • C (pois F_C\approx 8{,}37>5{,}32),
  • AC (porque F_{AC}\approx 23{,}11>5{,}32).
Os demais efeitos não são estatisticamente significativos ao nível 5\%.

Passo 6

A partir da ANOVA, construo um modelo reduzido contendo os termos significativos (método usual: manter intercepto e os termos que deram significância). O modelo reduzido em codificação \pm1 é:
\hat y = \beta_0 + \beta_B x_B + \beta_C x_C + \beta_{AC} x_A x_C.
Substituindo os coeficientes calculados:
\boxed{\hat y = 413{,}125 + 42{,}125\,x_B + 35{,}875\,x_C -59{,}625\,x_A x_C.}
Explicação do que significa: por exemplo, x_B=+1 quando B está no nível alto; x_Ax_C é o produto dos codificados e representa a interação entre A e C. Se você quiser a mudança de -1 para +1 em B (mantendo os outros fixos), o ganho esperado seria 2\beta_B=84{,}25 horas, que é o efeito que calculamos.

Passo 7

Agora analiso os resíduos do modelo reduzido. Primeiro prevejo \hat y para cada combinação de níveis (mesma predição para as duas réplicas da mesma combinação) e calculo os resíduos e=y-\hat y. Usei o modelo reduzido acima. Resultados (mostro tratamento, \hat y e resíduos nas duas réplicas; peguei os y da sua tabela):
\begin{array}{lrrr} \text{Tratamento} & \hat y & e_{\text{réplica I}} & e_{\text{réplica II}}\\hline (1) & 275{,}5 & 221-275{,}5=-54{,}5 & 311-275{,}5=35{,}5\\\ a & 394{,}75 & 325-394{,}75=-69{,}75 & 435-394{,}75=40{,}25\\\ b & 359{,}75 & 354-359{,}75=-5{,}75 & 348-359{,}75=-11{,}75\\\ ab & 479{,}00 & 552-479=73{,}00 & 472-479=-7{,}00\\\ c & 466{,}50 & 440-466{,}5=-26{,}5 & 453-466{,}5=-13{,}5\\\ ac & 347{,}25 & 406-347{,}25=58{,}75 & 377-347{,}25=29{,}75\\\ bc & 550{,}75 & 605-550{,}75=54{,}25 & 500-550{,}75=-50{,}75\\\ abc & 431{,}50 & 392-431{,}5=-39{,}5 & 419-431{,}5=-12{,}5 \end{array}éé
Calculei a soma dos quadrados dos resíduos do modelo reduzido:
\text{SSE}_{\text{reduzido}} = \sum e_i^2 = 28721.
Grau de liberdade do erro no modelo reduzido: N - p = 16 - 4 = 12 (quatro parâmetros: intercepto, B,C,AC). Portanto
\text{MSE}_{\text{reduzido}} = \frac{28721}{12} \approx 2393{,}42.

Passo 8

Verificação de adequação do modelo reduzido: faço um teste F parcial para ver se os efeitos que retirei do modelo completo (os quatro termos: A,AB,BC,ABC) são coletivamente significativos. A diferença de SSE entre modelo reduzido e completo é:
\Delta \text{SS} = \text{SSE}_{\text{reduzido}} - \text{SSE}_{\text{completo}} = 28721 - 19700 = 9021,
com \Delta \text{df} = 12-8 = 4. O F de comparação é
F = \frac{(9021/4)}{2462{,}5} = \frac{2255{,}25}{2462{,}5}\approx 0{,}916.
Esse F é muito menor que o crítico F_{(4,8;0{,}05)} (que é bem maior que 1), portanto não há evidência de que os termos removidos tragam melhoria significativa ao ajuste. Conclusão: o modelo reduzido é adequado e parcimonioso.

Passo 9

Análise dos resíduos em termos práticos (o que você precisa checar na prova):
  • Soma dos resíduos é zero (verificação básica de ajuste com intercepto) — confirmei que a soma dos resíduos é exatamente zero.
  • Verifique outliers: calculei os resíduos padronizados dividindo cada resíduo pela raiz de \text{MSE}_{\text{reduzido}} ( \sqrt{2393{,}42}\approx 48{,}92). Os resíduos padronizados foram aproximadamente:
[-1{,}11,\;0{,}73,\;-1{,}43,\;0{,}82,\;-0{,}12,\;-0{,}24,\;1{,}49,\;-0{,}14,\;-0{,}54,\;-0{,}28,\;1{,}20,\;0{,}61,\;1{,}11,\;-1{,}04,\;-0{,}81,\;-0{,}26].
Nenhum desses excede em magnitude 3; portanto não há outliers evidentes.
  • Homocedasticidade (variância constante): os resíduos são de magnitudes parecidas (não há tendência clara de aumento da variância com o valor previsto). Com 16 pontos não se pode ser muito exigente, mas inspeção numérica não mostra heterocedasticidade forte.
  • Normalidade: com 16 observações não posso provar normalidade, mas os resíduos padronizados estão razoavelmente centrados e sem outliers extremos; um gráfico QQ (se você fizesse) provavelmente não mostraria grandes desvios. Logo, nenhuma evidência forte contra supostos normais para \varepsilon.
  • Conclusão prática sobre resíduos: não há motivos fortes para transformação; o modelo reduzido é aceitável.

Passo 10

Interpretação final e recomendações para a prova (resumo didático):
  • Os fatores que mais influenciam a vida da ferramenta são B (dureza) e C (ângulo), e existe uma interação forte entre A (velocidade) e C. Isso significa que o efeito da velocidade sobre a vida depende do ângulo.
  • O modelo em variáveis codificadas \pm1 que explica bem os dados é
\hat y = 413{,}125 + 42{,}125\,x_B + 35{,}875\,x_C -59{,}625\,x_A x_C,
onde x_A,x_B,x_C\in\{-1,+1\}.
  • Os resíduos do modelo não mostram problemas evidentes (sem outliers extremos, variância razoavelmente constante, soma dos resíduos zero). Um teste parcial confirmado que os termos removidos do modelo completo não são necessários.

Resposta

(a) Os efeitos estatisticamente significativos ao nível de 5\% são B, C e a interação AC.
(b) Modelo adequado (em codificação \pm1):
\hat y = 413{,}125 + 42{,}125\,x_B + 35{,}875\,x_C -59{,}625\,x_Ax_C.
(c) Análise de resíduos: \text{SSE}_{\text{reduzido}}=28721 com \text{df}=12 ( \text{MSE}\approx2393{,}42); resíduos padronizados dentro de \pm1{,}5 aproximadamente, sem outliers extremos e sem evidência forte de heterocedasticidade ou não-normalidade; o modelo reduzido é adequado (teste parcial para os termos removidos deu F\approx0{,}916, não significativo).

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