É comprovado experimentalmente que a luz sofre ação gravitacional. Sabemos também que nenhum objeto massivo pode alcançar a velocidade da luz. Ou seja, a velocidade da luz é a maior velocidade possível no nosso universo. Desta forma, podemos imaginar um buraco negro Newtoniano como aquele objeto astronômico que não deixa escapar nem a luz. Para que tal objeto exista, basta impor que a velocidade de escape deste objeto seja maior que a velocidade da luz. Assim, a razão
entre a massa do objeto e seu raio (densidade radial) deve ser, aproximadamente, maior ou igual a (Considere o valor da velocidade da luz
):
(A)
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(B)
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©
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(D)
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(E)
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(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente sabe que a luz pode ser afetada pela gravidade e que nada com massa pode chegar na velocidade da luz, que é a maior velocidade do universo, igual a $ \mathrm{c} = 3,0 \times 10^{8} , \mathrm{m/s}
M
R $) de um objeto, para que a velocidade de escape desse objeto seja maior ou igual à velocidade da luz. Basicamente, estamos falando sobre como formar um “buraco negro Newtoniano”. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da velocidade de escape e entender como ela se relaciona com $ M $ e $ R $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da velocidade de escape ($ v_{esc} $):
Onde:
- $ G $ é a constante da gravitação universal, $ G = 6,67 \times 10^{-11} , \mathrm{N \cdot m2/kg2} $
- $ M $ é a massa do objeto
- $ R $ é o raio do objeto
Nosso objetivo é que a velocidade de escape seja igual ou maior que a velocidade da luz ($ c $):
Passo 3
Vamos substituir a fórmula da velocidade de escape na inequação:
Agora, para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar os dois lados ao quadrado:
Passo 4
Queremos achar a razão $ \frac{M}{R} $. Vamos isolar essa razão na inequação:
Passo 5
Agora é só substituir os valores conhecidos na fórmula:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Passo 6
Dividindo os dois resultados:
Resposta
A razão $ \frac{M}{R} $ deve ser, aproximadamente, maior ou igual a $ 6,75 \times 10^{26} , \mathrm{kg/m} $. Portanto, a resposta correta é a opção (E) $ 6,75 \times 10^{26} , \mathrm{kg/m} $.