É comprovado experimentalmente que a luz sofre ação gravitacional. Sabemos também que nenhum objeto massivo pode alcançar a velocidade da luz. Ou seja, a velocidade da luz é a maior velocidade possível no nosso universo. Desta forma, podemos imaginar um buraco negro Newtoniano como aquele objeto astronômico que não deixa escapar nem a luz. Para que tal objeto exista, basta impor que a velocidade de escape deste objeto seja maior que a velocidade da luz. Assim, a razão M / R entre a massa do objeto e seu raio (densidade radial) deve ser, aproximadamente, maior ou igual a (Considere o valor da velocidade da luz c=3,0.10^8 m / s ):
(A) 8,21.10^13 kg / m.
(B) 6,75.10^18 kg / m.
© 2,25.10^18 kg / m.
(D) 2,25.10^26 kg / m.
(E) 6,75.10^26 kg / m.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente sabe que a luz pode ser afetada pela gravidade e que nada com massa pode chegar na velocidade da luz, que é a maior velocidade do universo, igual a $ \mathrm{c} = 3,0 \times 10^{8} , \mathrm{m/s} c = 3,0 times 10^8 , m/s ãã M M R $) de um objeto, para que a velocidade de escape desse objeto seja maior ou igual à velocidade da luz. Basicamente, estamos falando sobre como formar um “buraco negro Newtoniano”. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da velocidade de escape e entender como ela se relaciona com $ M $ e $ R $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da velocidade de escape ($ v_{esc} $):
vesc
Onde:
  • $ G $ é a constante da gravitação universal, $ G = 6,67 \times 10^{-11} , \mathrm{N \cdot m2/kg2} $
  • $ M $ é a massa do objeto
  • $ R $ é o raio do objeto
Nosso objetivo é que a velocidade de escape seja igual ou maior que a velocidade da luz ($ c $):
vesc = raiz2 G MR

Passo 3

Vamos substituir a fórmula da velocidade de escape na inequação:
raiz2 G MR >= c
Agora, para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar os dois lados ao quadrado:
2 G MR >= c^2

Passo 4

Queremos achar a razão $ \frac{M}{R} $. Vamos isolar essa razão na inequação:
MR

Passo 5

Agora é só substituir os valores conhecidos na fórmula:
MR >= (3,0 times 10^8 , m/s)^22 times 6,67 times 10^-11 , N cdot m^2/kg^2
Calculando o numerador:
(3,0 times 10^8)^2 = 9,0 times 10^16 , m^2/s^2
E o denominador:
2 times 6,67 times 10^-11 = 1,334 times 10^-10 , N cdot m^2/kg^2

Passo 6

Dividindo os dois resultados:
MR >= 9,0 times 10^161,334 times 10^-10 approx 6,75 times 10^26 , kg/m

Resposta

A razão $ \frac{M}{R} $ deve ser, aproximadamente, maior ou igual a $ 6,75 \times 10^{26} , \mathrm{kg/m} $. Portanto, a resposta correta é a opção (E) $ 6,75 \times 10^{26} , \mathrm{kg/m} $.

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