Comprovar cada uma das seguintes regras de derivação para funções matriciais, supondo que P e Q são deriváveis. Em b) e d) não devem ser necessariamente do mesmo tamanho contanto que os produtos façam sentido.
(P Q)^prime=P Q^prime+P^prime Q.

Passo 1

Queremos mostrar que, para duas funções matriciais P(t) e Q(t) diferenciáveis e com dimensões compatíveis para o produto, vale
ddtl(PQr)=P,dQdt+dPdt,Q
A ideia é usar que a derivada de uma matriz se faz elemento a elemento e aplicar aí a regra do produto de funções escalares.

Passo 2

Sejam P(t) de ordem mtimes n e Q(t) de ordem ntimes p. O elemento (i,j) do produto é
l(PQr)ij(t) =sumk=1^nPik(t),Qkj(t)

Passo 3

Aplicando a derivada escalar a cada termo da soma, usamos a regra do produto escalar: para cada k,
ddtl[Pik(t),Qkj(t)r] =dPikdt(t);Qkj(t) +Pik(t);dQkjdt(t)

Passo 4

Derivando a soma, soma-se as derivadas dos termos:
ddtl(PQr)ij(t) =sumk=1^nl(dPikdtQkj+PikdQkjdtr) =l(P',Qr)ij(t)+l(P,Q'r)ij(t)
Como vale para todos os pares (i,j), concluímos
ddtl(PQr) =P',Q+P,Q'

Resposta

(PQ)'=P,Q'+P',Q

Exercícios relacionados