Seja
a seqüência de funções definidas por
Mostre que
é um polinômio de grau
, cujos coeficientes estão em
.
Mostre que, para
, onde
é a solução de
.
Mostre que, para
Passo 1
O enunciado define a sequência de funções
por
Queremos mostrar por indução que cada
é um polinômio de grau
com coeficientes em
. Em seguida, vamos reconhecer que isso é justamente a iteração de Picard para a EDO
e concluir que
converge para a solução
dessa EDO em
.
Passo 2
Primeiro observemos os casos baixos para ver o padrão:
, que é um polinômio de grau
e coeficiente em
.
, grau
, coeficientes
e
em
.
,
grau , coeficientes
.
grau
Passo 3
Suponha que
com
e
. Então
onde
onde
Como
vemos que:
- O grau é
. - Cada coeficiente vale
e é não negativo.
Isso fecha a indução sobre grau e coeficientes.
Passo 4
A definição
é exatamente a iteração de Picard para a EDO
. Pelo teorema de existência e unicidade, essa sequência converge uniformemente em qualquer intervalo
com
para a única solução
. Sabe-se resolvê-la em fechado:
válida para
.