Seja varphim a seqüência de funções definidas por
varphi0(x)=0, varphin(x)=1+integral0^x(varphin-1(t))^2 d t
Mostre que varphin é um polinômio de grau 2^n-1-1, cujos coeficientes estão em [0,1].
Mostre que, para |x|<1, varphin varphi, onde varphi é a solução de d yd x=y^2, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado define a sequência de funções varphin por
varphi0(x)=0, varphin(x)=1+integral0^xl(varphin-1(t)r)^2dt
Queremos mostrar por indução que cada varphin é um polinômio de grau 2^n-1-1 com coeficientes em [0,1]. Em seguida, vamos reconhecer que isso é justamente a iteração de Picard para a EDO
dydx=y^2, y(0)=1,
e concluir que varphin(x) converge para a solução varphi(x) dessa EDO em |x|<1.

Passo 2

Primeiro observemos os casos baixos para ver o padrão:
varphi1(x)=1+integral0^x0^2dt=1, que é um polinômio de grau 0=2^1-1-1 e coeficiente em [0,1].
varphi2(x)=1+integral0^x1^2dt=1+x, grau 1=2^2-1-1, coeficientes 1 e 1 em [0,1].
varphi3(x)=1+integral0^x(1+t)^2dt =1+x+x^2+tfracx^33,
grau 3=2^3-1-1, coeficientes 1,1,1,tfrac13in[0,1].

Passo 3

Suponha que
varphin-1(t)=sumj=0^Daj,t^j,
com D=2^n-2-1 e 0<= aj<=1. Então
l(varphin-1(t)r)^2=sumk=0^2Dbk,t^k
onde
bk=sumi=0^kaia,k-i <=sumi=0^k1 =k+1
Como
varphin(x) =1+integral0^xsumk=0^2Dbk,t^kdt =1+sumk=0^2Dbk,x^k+1k+1,
vemos que:
  1. O grau é (2D)+1=2(2^n-2-1)+1=2^n-1-1.
  2. Cada coeficiente vale bk/(k+1)<=1 e é não negativo.
Isso fecha a indução sobre grau e coeficientes.

Passo 4

A definição
varphin(x) =1+integral0^xl(varphin-1(t)r)^2dt
é exatamente a iteração de Picard para a EDO ,y'=y^2,,y(0)=1. Pelo teorema de existência e unicidade, essa sequência converge uniformemente em qualquer intervalo [-R,R] com R<1 para a única solução varphi(x). Sabe-se resolvê-la em fechado:
dydx=y^2,;y(0)=1 Longrightarrow varphi(x)=11-x,
válida para |x|<1.

Resposta

varphin é um polinômio real de grau 2^n-1-1 com todos os coeficientes em [0,1], e em |x|<1 tem-se
varphin(x);longrightarrow;varphi(x)=11-x

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