Seja uma seqüência de funções contínuas em , tal que uniformemente em . Seja uma solução de
em , onde e tal que quando . Prove que existe uma subseqüência uniformemente convergente em e que,
para qualquer subseqüência nestas condições, o limite é uma solução de
Em particular, se (*) possuir uma única solução em , então uniformemente.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Temos uma sequência de funções contínuas definidas no retângulo
com uniformemente em . Para cada existe solução de
em , onde e .
Queremos mostrar que
há uma subsequência convergindo uniformemente em a uma função ,
satisfaz
em .
Vamos usar o Teorema de Arzelà–Ascoli para extrair a subsequência e depois passar ao limite na forma integral da solução.
Passo 2
Uniforme limite de por Arzelà–Ascoli
Como uniformemente em e cada é contínua num compacto, existe constante tal que
Logo, para ,
Para n grande, tnapprox t0 e xnapprox x0, garantindo |varphin(t)-x0|<= b. Assim varphin(t) permanece em Omega.
Além disso, a mesma estimativa implica equicontinuidade: para t1,t2in[t0,t0+a],
Portanto, varphin é uniformemente limitada e equicontínua em [t0,t0+a]. Pelo Teorema de Arzelà–Ascoli existe subsequência varphink que converge uniformemente a uma função contínua varphi em [t0,t0+a].
Passo 3
Passando ao limite na forma integral e verificando a EDO-limite
Cada varphink satisfaz
o que implica varphi'(t)=fl(t,varphi(t)r) e varphi(t0)=x0. Logo varphi é solução de
x'=f(t,x), x(t0)=x0
Passo 4
Conclusão e unicidade
Mostramos que toda subsequência de varphin tem uma sub-subsequência que converge uniformemente a uma solução varphi de
x'=f(t,x), x(t0)=x0
Se esta solução for única em [t0,t0+a], então não importa a subsequência escolhemos: o limite tem de ser sempre o mesmo varphi. Portanto varphintovarphi uniformemente em [t0,t0+a].
Resposta
Existe de fato uma subsequência varphink convergindo uniformemente em [t0,t0+a] a uma solução varphi de
x'=f(t,x), x(t0)=x0
E, se essa solução for única, temos varphintovarphi uniformemente.