Seja f1, f2, cdots uma seqüência de funções contínuas em Omega=(t, x) ; t0 <= t <= t0+a, |x-x0| <= b tal que fn f uniformemente em Omega. Seja varphin uma solução de
x^prime=fn(t, x), x(tn)=xn
em [t0, t0+a], onde n=1,2, cdots e tal que tn t0, xn x0 quando n infty. Prove que existe uma subseqüência varphin1, varphin2, cdots uniformemente convergente em [t0, t0+a] e que,
para qualquer subseqüência nestas condições, o limite varphi(t)=lim k infty varphink(t) é uma solução de
x^prime=f(t, x), x(t0)=x0, em [t0, t0+a] (*)
Em particular, se (*) possuir uma única solução varphi(t) em [t0, t0+a], então varphi(t)=lim n infty varphin(t) uniformemente.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos uma sequência de funções contínuas fn definidas no retângulo
Omega = (t,x)mid t0 <= t<= t0+a,;|x-x0|<= b,
com fnto f uniformemente em Omega. Para cada n existe solução varphin de
x'=fn(t,x), x(tn)=xn,
em [t0,t0+a], onde tnto t0 e xnto x0.
Queremos mostrar que
  1. há uma subsequência varphink convergindo uniformemente em [t0,t0+a] a uma função varphi,
  2. varphi satisfaz
x'=f(t,x), x(t0)=x0
em [t0,t0+a].
Vamos usar o Teorema de Arzelà–Ascoli para extrair a subsequência e depois passar ao limite na forma integral da solução.

Passo 2

Uniforme limite de varphin por Arzelà–Ascoli
Como fnto f uniformemente em Omega e cada fn é contínua num compacto, existe constante M tal que
|fn(t,x)|<= M para todo (t,x)inOmega,;ninN
Logo, para tin[t0,t0+a],
|varphin(t)-xn| =l|integraltn^tfn(s,varphin(s)),dsr| <= M,|t-tn|<= M,(a+|tn-t0|)
Para n grande, tnapprox t0 e xnapprox x0, garantindo |varphin(t)-x0|<= b. Assim varphin(t) permanece em Omega.
Além disso, a mesma estimativa implica equicontinuidade: para t1,t2in[t0,t0+a],
|varphin(t1)-varphin(t2)| <= integralt1^t2|fn(s,varphin(s))|,ds <= M,|t1-t2|
Portanto, varphin é uniformemente limitada e equicontínua em [t0,t0+a]. Pelo Teorema de Arzelà–Ascoli existe subsequência varphink que converge uniformemente a uma função contínua varphi em [t0,t0+a].

Passo 3

Passando ao limite na forma integral e verificando a EDO-limite
Cada varphink satisfaz
varphink(t) = xnk + integraltnk^t fnkl(s,varphink(s)r),ds
Escrevemos
integraltnk^t fnk(s,varphink(s)),ds = integralt0^t fnk(s,varphink(s)),ds - integralt0^tnk fnk(s,varphink(s)),ds
  1. xnkto x0.
  2. l|integralt0^tnk fnk(cdots)r|<= M,|tnk-t0|to0.
  3. Para o termo principal, usando convergência uniforme fnkto f e varphinktovarphi, temos uniformemente em t:
integralt0^t fnkl(s,varphink(s)r),ds ;longrightarrow; integralt0^t fl(s,varphi(s)r),ds
Portanto, passando a ktoinfty em
varphink(t)=xnk+integraltnk^tfnk(cdots),
obtém-se
varphi(t) = x0 + integralt0^t fl(s,varphi(s)r),ds,
o que implica varphi'(t)=fl(t,varphi(t)r) e varphi(t0)=x0. Logo varphi é solução de
x'=f(t,x), x(t0)=x0

Passo 4

Conclusão e unicidade
Mostramos que toda subsequência de varphin tem uma sub-subsequência que converge uniformemente a uma solução varphi de
x'=f(t,x), x(t0)=x0
Se esta solução for única em [t0,t0+a], então não importa a subsequência escolhemos: o limite tem de ser sempre o mesmo varphi. Portanto varphintovarphi uniformemente em [t0,t0+a].

Resposta

Existe de fato uma subsequência varphink convergindo uniformemente em [t0,t0+a] a uma solução varphi de
x'=f(t,x), x(t0)=x0
E, se essa solução for única, temos varphintovarphi uniformemente.

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