Comprovar o Teorema de Green nos casos abaixo, isto é, verifique que
é o triângulo de vértices
.
Passo 1
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que diz:
Vamos verificar essa igualdade para
e
sendo o triângulo de vértices
,
,
, orientado positivamente (anti-horário).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando da dupla é
Passo 3
O triângulo
pode ser descrito por
e
. Assim
Integrando primeiro em
obtemos
Passo 4
Agora integramos em
:
Portanto o lado direito de Green vale
.
Passo 5
Para o lado esquerdo fazemos a integral de linha em três trechos.
C1: reta de
a
com
,
,
,
,
.
C2: reta de
a
com
,
,
,
,
.
Passo 6
C3: reta de
a
sobre
. Parametrização
,
,
dá
.
Fazendo
resulta
Passo 7
Somando os três trechos da fronteira:
Logo a integral de linha também vale
.
Resposta
Ambos os lados de Green resultam em
, confirmando o Teorema de Green para este campo e região.