Comprove que as três condições das hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor para c que satisfaça a conclusão do teorema.
f(x)=4 x^3-9 x, [-3 / 2,3 / 2];

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = 4x^3 - 9x
no intervalo l[-tfrac32,tfrac32r] e pede para verificar as três hipóteses do Teorema de Rolle (continuidade em [a,b], derivabilidade em (a,b), valores iguais em a e b) e então encontrar um c em (a,b) tal que f'(c)=0.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em todo R e, em particular, em l[-tfrac32,tfrac32r]. Também é derivável em todo R, logo em l(-tfrac32,tfrac32r).

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos:
fl(-tfrac32r) =4l(-tfrac32r)^3-9l(-tfrac32r) =4l(-tfrac278r)+tfrac272 =-tfrac272+tfrac272 =0,
fl(tfrac32r) =4l(tfrac32r)^3-9l(tfrac32r) =4l(tfrac278r)-tfrac272 =tfrac272-tfrac272 =0
Portanto f(-tfrac32)=f(tfrac32).

Passo 4

Pelas hipóteses de Rolle, existe pelo menos um c em l(-tfrac32,tfrac32r) tal que
f'(c)=0

Passo 5

Calculamos a derivada:
f'(x)=12x^2-9
Impondo f'(c)=0 vem
12c^2-9=0 Longrightarrow c^2=tfrac912=tfrac34 Longrightarrow c=pmtfracraiz32
Ambos os valores estão em l(-tfrac32,tfrac32r), satisfazendo a conclusão do teorema.

Resposta

Um valor que satisfaz f'(c)=0 é
c=tfracraiz32
(o outro possível é c=-tfracraiz32).

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