Comprove que as três condições das hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor para
que satisfaça a conclusão do teorema.
;
Passo 1
O enunciado nos dá a função
no intervalo
e pede para verificar as três hipóteses do Teorema de Rolle (continuidade em
, derivabilidade em
, valores iguais em
e
) e então encontrar um
em
tal que
.
Passo 2
Como
é um polinômio, ela é contínua em todo
e, em particular, em
. Também é derivável em todo
, logo em
.
Passo 3
Calculamos os valores nos extremos:
Portanto
.
Passo 4
Pelas hipóteses de Rolle, existe pelo menos um
em
tal que
Passo 5
Calculamos a derivada:
Impondo
vem
Ambos os valores estão em
, satisfazendo a conclusão do teorema.
Resposta
Um valor que satisfaz
é
(o outro possível é
).