Seja
o produto interno usual de
. Um elemento de
é uma aplicação linear
.
(a)
Dado
qualquer, seja
, definida por
.
Mostre que
. Temos que
é injetora? E sobrejetora? Justifique!
(b)
Dado
, mostre que existe
onde
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço euclidiano
e seu produto interno usual
.
Em (a) definimos, para um vetor fixo , a aplicação
Em (a) definimos, para um vetor fixo
e precisamos mostrar que
é um funcional linear (isto é,
), além de investigar se
é injetora e se é sobrejetora.
Em (b) queremos provar a representação de qualquer funcional linear como produto interno com algum vetor
.
Em (b) queremos provar a representação de qualquer funcional linear
Passo 2
Mostramos que
é linear, ou seja, satisfaz aditividade e homogeneidade:
para quaisquer e
,
para quaisquer
Logo
é aplicação linear e, por definição,
.
Passo 3
Analisamos injetividade e sobrejetividade de
.
- Injetividade:
é injetora se implica .
Mas
e, em
com
, existem vetores não nulos ortogonais a
.
Logo o núcleo de é
, que sempre contém vetores não nulos.
Portanto não é injetora, seja qual for
.
2. Sobrejetividade: queremos, dado , achar
tal que
.
Se , basta escolher
Logo o núcleo de
Portanto
2. Sobrejetividade: queremos, dado
Se
pois
Logo, quando
,
é sobrejetora.
Se , então
e sua imagem é
, não sendo sobrejetora.
Se
Passo 4
Agora a parte (b): seja
qualquer.
Tomemos a base canônica de
e definamos o vetor
Tomemos a base canônica
Escrevendo um vetor genérico
na base canônica, temos
Isso mostra a existência de um vetor
tal que
para todo
.
(A unicidade de decorre do fato de que se
para todo
, então
.)
(A unicidade de
Resposta
(a) Para qualquer
,
é linear, mas não injetora pois seu núcleo é um hiperplano de dimensão
. É sobrejetora se e somente se
.
(b) Dado , basta tomar
(b) Dado
na base canônica, e então
para todo
.