Seja lang<=cdot, cdotrang<= o produto interno usual de R^n, n>1. Um elemento de (R^n)^* é uma aplicação linear f: R^n R.
(a) (0,8) Dado u in R^n qualquer, seja g: R^n R, definida por g(x)=lang<= x, urang<=.
Mostre que g in(R^n)^*. Temos que g é injetora? E sobrejetora? Justifique!
(b) (0,8) Dado f in(R^n)^*, mostre que existe vf in R^n onde f(x)=lang<= x, vfrang<=, forall x in R^n.

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço euclidiano R^n e seu produto interno usual
lang<= x,yrang<= = sumi=1^n xi yi.
Em (a) definimos, para um vetor fixo uinR^n, a aplicação
gcolon R^n to R, g(x)=lang<= x,urang<=,
e precisamos mostrar que g é um funcional linear (isto é, gin(R^n)^*), além de investigar se g é injetora e se é sobrejetora.
Em (b) queremos provar a representação de qualquer funcional linear fin(R^n)^* como produto interno com algum vetor vfinR^n.

Passo 2

Mostramos que g é linear, ou seja, satisfaz aditividade e homogeneidade:
para quaisquer x,yinR^n e ainR,
g(x+y)=lang<= x+y,urang<= =lang<= x,urang<=+lang<= y,urang<= =g(x)+g(y),
g(a,x)=lang<= a,x,urang<= =a,lang<= x,urang<= =a,g(x)
Logo g é aplicação linear e, por definição, gin(R^n)^*.

Passo 3

Analisamos injetividade e sobrejetividade de g.
  1. Injetividade: g é injetora se g(x)=0 implica x=0.
    Mas
g(x)=0iff lang<= x,urang<==0,
e, em R^n com n>1, existem vetores não nulos ortogonais a u.
Logo o núcleo de g é xmid lang<= x,urang<==0, que sempre contém vetores não nulos.
Portanto g não é injetora, seja qual for u.
2. Sobrejetividade: queremos, dado rinR, achar x tal que g(x)=r.
Se uneq0, basta escolher
x=r|u|^2,u,
pois
g(x) =llang<= r|u|^2u,urrang<= =r|u|^2,|u|^2 =r
Logo, quando uneq0, g é sobrejetora.
Se u=0, então gequiv0 e sua imagem é 0, não sendo sobrejetora.

Passo 4

Agora a parte (b): seja fin(R^n)^* qualquer.
Tomemos a base canônica e1,dots,en de R^n e definamos o vetor
vf = l(f(e1),,f(e2),dots,f(en)r)inR^n
Escrevendo um vetor genérico x=(x1,dots,xn) na base canônica, temos
f(x) =fl(sumi=1^n xi eir) =sumi=1^n xi,f(ei) =sumi=1^n xi,(vf)i =lang<= x,,vfrang<=
Isso mostra a existência de um vetor vf tal que f(x)=lang<= x,vfrang<= para todo x.
(A unicidade de vf decorre do fato de que se lang<= x,vf-wrang<==0 para todo x, então vf-w=0.)

Resposta

(a) Para qualquer u, g(x)=lang<= x,urang<= é linear, mas não injetora pois seu núcleo é um hiperplano de dimensão n-1>0. É sobrejetora se e somente se uneq0.
(b) Dado fin(R^n)^*, basta tomar
vf=l(f(e1),dots,f(en)r)
na base canônica, e então f(x)=lang<= x,vfrang<= para todo x.

Exercícios relacionados