4.8G Use a Fórmula de Gauss e estabeleça as seguintes identidades:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Para isso, vamos usar a Fórmula de Gauss, que diz que, para um campo vetorial
suave,
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Calculamos sua divergência usando as regras de derivação de produto:
Passo 3
Subtraindo as duas expressões, obtemos
Portanto,
é exatamente o integrando do lado esquerdo.
Passo 4
Aplicando a Fórmula de Gauss a
, vem
Mas no contorno
temos
Passo 5
Substituindo
na integral de superfície, concluímos a identidade: