4.8G Use a Fórmula de Gauss e estabeleça as seguintes identidades:
(b) integral triplaOmega(v De<a u-u De<a v) d V=integral duplapartial Omega(v partial upartial nS-u partial vpartial nS) d S.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral triplaOmegal(v,De<a u - u,De<a vr),dV = integral duplapartialOmegal(v,partial upartialvec nS - u,partial vpartialvec nSr),dS
Para isso, vamos usar a Fórmula de Gauss, que diz que, para um campo vetorial F suave,
integral triplaOmeganablacdot F,dV =integral duplapartialOmegaFcdotvec nS,dS

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F = v,nabla u ;-; u,nabla v
Calculamos sua divergência usando as regras de derivação de produto:
nablacdot(v,nabla u) = v,De<a u + nabla vcdotnabla u,
nablacdot(u,nabla v) = u,De<a v + nabla ucdotnabla v

Passo 3

Subtraindo as duas expressões, obtemos
nablacdot F = nablacdot(v,nabla u) ;-;nablacdot(u,nabla v) = v,De<a u - u,De<a v
Portanto, nablacdot F é exatamente o integrando do lado esquerdo.

Passo 4

Aplicando a Fórmula de Gauss a F, vem
integral triplaOmegal(v,De<a u - u,De<a vr),dV = integral triplaOmeganablacdot F,dV = integral duplapartialOmegaFcdotvec nS,dS
Mas no contorno partialOmega temos
Fcdotvec nS = l(v,nabla u - u,nabla vr)cdot vec nS = v,partial upartialvec nS - u,partial vpartialvec nS

Passo 5

Substituindo Fcdotvec nS na integral de superfície, concluímos a identidade:
integral triplaOmega(v,De<a u - u,De<a v),dV = integral duplapartialOmegal(v,partial upartialvec nS - u,partial vpartialvec nSr),dS

Resposta

integral triplaOmega(v,De<a u - u,De<a v),dV = integral duplapartialOmegal(v,partial upartialvec nS - u,partial vpartialvec nSr),dS

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