Comprove que as três condições das hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor para c que satisfaça a conclusão do teorema.
f(x)=cos ^2(x),[-pi / 2, pi / 2].

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
f(x)=cos^2(x)
satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo
[-pi2,pi2]
e, em seguida, encontrarmos um ponto cinl(-pi2,pi2r) tal que
f'(c)=0

Passo 2

Verificamos a continuidade e diferenciabilidade de f: a função cos(x) é arbitrariamente diferenciável em R, logo cos^2(x) é contínua em qualquer intervalo fechado e diferenciável em qualquer intervalo aberto. Em particular, f é contínua em
[-pi2,pi2]
e diferenciável em
l(-pi2,pi2r).

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos:
f!l(-tfracpi2r)=cos^2!l(-tfracpi2r)=0, f!l(tfracpi2r)=cos^2!l(tfracpi2r)=0
Portanto, fl(-pi2r)=fl(pi2r).

Passo 4

Como f é contínua em [-pi2,pi2], diferenciável em l(-pi2,pi2r) e fl(-pi2r)=fl(pi2r), o Teorema de Rolle garante a existência de algum cinl(-tfracpi2,tfracpi2r) tal que f'(c)=0.

Passo 5

Calculamos a derivada:
f'(x)=ddxl(cos^2(x)r) =-2cos(x)sin(x) =-sin(2x)
Impondo f'(c)=0
-sin(2c)=0 Longrightarrow sin(2c)=0 Longrightarrow 2c=kpi Longrightarrow c=kpi2
No intervalo l(-tfracpi2,tfracpi2r) só cabe k=0, ou seja c=0.

Resposta

c=0

Exercícios relacionados