Comprove que as três condições das hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor para
que satisfaça a conclusão do teorema.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo
e, em seguida, encontrarmos um ponto tal que
e, em seguida, encontrarmos um ponto
Passo 2
Verificamos a continuidade e diferenciabilidade de
: a função
é arbitrariamente diferenciável em
, logo
é contínua em qualquer intervalo fechado e diferenciável em qualquer intervalo aberto. Em particular,
é contínua em
e diferenciável em
.
e diferenciável em
Passo 3
Calculamos os valores nos extremos:
Portanto,
.
Passo 4
Como
é contínua em
, diferenciável em
e
, o Teorema de Rolle garante a existência de algum
tal que
.
Passo 5
Calculamos a derivada:
Impondo
dá
No intervalo
só cabe
, ou seja
.