Comprovou-se que o tempo de vida de certo tipo de marca-passo segue uma distribuição exponencial com média de 16 anos.
(a) Qual a probabilidade de que uma pessoa, em quem se implantou esse marca-passo, deva reimplantá-lo antes de 20 anos?
(b) Se o marca-passo vem funcinando corretamente cinco anos em um paciente, qual a probabilidade de que deva trocá-lo antes de 25 anos?
(a) Qual a probabilidade de que uma pessoa, em quem se implantou esse marca-passo, deva reimplantá-lo antes de 20 anos?
(b) Se o marca-passo vem funcinando corretamente cinco anos em um paciente, qual a probabilidade de que deva trocá-lo antes de 25 anos?
Passo 1
O enunciado informa que o tempo de vida de um certo marca-passo segue uma distribuição com média de 16 anos. Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de que o marca-passo precise ser reimplantado antes de 20 anos?
(b) Se o marca-passo já funcionou corretamente por 5 anos, qual a probabilidade de que deva ser trocado antes de 25 anos?
Informações relevantes dadas: a média do tempo de vida é anos. Não há outras restrições mencionadas.
(a) Qual a probabilidade de que o marca-passo precise ser reimplantado antes de 20 anos?
(b) Se o marca-passo já funcionou corretamente por 5 anos, qual a probabilidade de que deva ser trocado antes de 25 anos?
Informações relevantes dadas: a média do tempo de vida é
Passo 2
Modelagem e fórmulas básicas (explicação didática).
Quando um tempo de vida segue uma distribuição exponencial, usamos a seguinte relação entre a média e o parâmetro da distribuição:
Quando um tempo de vida segue uma distribuição exponencial, usamos a seguinte relação entre a média e o parâmetro da distribuição:
Aqui a média é
, portanto:
A função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial, que dá a probabilidade de a variável
ser menor ou igual a
, é
Isso significa que a probabilidade de falha antes de
anos é
. Vou usar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Resolvendo (a): probabilidade de reimplante antes de 20 anos.
Usamos a CDF com e
:
Usamos a CDF com
Calculemos o expoente:
Agora avaliamos
. Podemos decompor
. Sabendo aproximações padrão
e
, temos
Portanto
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 4
Resolvendo (b): probabilidade condicional dado que já funcionou 5 anos.
Aqui entra a propriedade de “sem memória” da distribuição exponencial. A propriedade de sem memória diz:
Aqui entra a propriedade de “sem memória” da distribuição exponencial. A propriedade de sem memória diz:
Em termos de troca antes de 25 anos, queremos
. Usando definição de probabilidade condicional:
Usando a CDF/cauda exponencial
, obtemos
Note que isso é exatamente a mesma expressão que em (a): devido à sem-memória, a probabilidade condicional de falhar nos próximos
anos, dado que já passou
, depende só dos próximos
anos. Com
: