Comprovou-se que o tempo de vida de certo tipo de marca-passo segue uma distribuição exponencial com média de 16 anos.
(a) Qual a probabilidade de que uma pessoa, em quem se implantou esse marca-passo, deva reimplantá-lo antes de 20 anos?
(b) Se o marca-passo vem funcinando corretamente cinco anos em um paciente, qual a probabilidade de que deva trocá-lo antes de 25 anos?

Passo 1

O enunciado informa que o tempo de vida de um certo marca-passo segue uma distribuição com média de 16 anos. Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de que o marca-passo precise ser reimplantado antes de 20 anos?
(b) Se o marca-passo já funcionou corretamente por 5 anos, qual a probabilidade de que deva ser trocado antes de 25 anos?
Informações relevantes dadas: a média do tempo de vida é 16 anos. Não há outras restrições mencionadas.

Passo 2

Modelagem e fórmulas básicas (explicação didática).
Quando um tempo de vida segue uma distribuição exponencial, usamos a seguinte relação entre a média e o parâmetro da distribuição:
\text{média} = \frac{1}{\lambda}.é
Aqui a média é 16, portanto:
\frac{1}{\lambda}=16 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{16}.
A função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial, que dá a probabilidade de a variável X ser menor ou igual a x, é
P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0.
Isso significa que a probabilidade de falha antes de x anos é 1-e^{-\lambda x}. Vou usar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Resolvendo (a): probabilidade de reimplante antes de 20 anos.
Usamos a CDF com x=20 e \lambda=\tfrac{1}{16}:
P(X<20)=P(X\le 20)=1-e^{-\lambda\cdot 20}=1-e^{-\frac{1}{16}\cdot 20}=1-e^{-\frac{20}{16}}.
Calculemos o expoente:
-\frac{20}{16}=-1,25.
Agora avaliamos e^{-1,25}. Podemos decompor e^{-1,25}=e^{-1}\cdot e^{-0,25}. Sabendo aproximações padrão e^{-1}\approx 0,367879 e e^{-0,25}\approx 0,778801, temos
e^{-1,25}\approx 0,367879\times 0,778801\approx 0,286505.
Portanto
P(X<20)\approx 1-0,286505\approx 0,713495.
Arredondando razoavelmente: P(X<20)\approx 0,7135.

Passo 4

Resolvendo (b): probabilidade condicional dado que já funcionou 5 anos.
Aqui entra a propriedade de “sem memória” da distribuição exponencial. A propriedade de sem memória diz:
P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t\text{ (a partir do tempo 0)}).
Em termos de troca antes de 25 anos, queremos P(X<25\mid X>5). Usando definição de probabilidade condicional:
P(X<25\mid X>5)=\frac{P(5<X<25)}{P(X>5)}.
Usando a CDF/cauda exponencial P(X>u)=e^{-\lambda u}, obtemos
\frac{e^{-\lambda\cdot 5}-e^{-\lambda\cdot 25}}{e^{-\lambda\cdot 5}}=1-e^{-\lambda(25-5)}=1-e^{-\lambda\cdot 20}.
Note que isso é exatamente a mesma expressão que em (a): devido à sem-memória, a probabilidade condicional de falhar nos próximos 20 anos, dado que já passou 5, depende só dos próximos 20 anos. Com \lambda=\tfrac{1}{16}:
P(X<25\mid X>5)=1-e^{-\frac{1}{16}\cdot 20}=1-e^{-1,25}\approx 0,7135.

Resposta

1-e^{-20/16}\approx 0,7135\n 1-e^{-20/16}\approx 0,7135

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