De acordo com um levantamento de dados, 69,5 \% dos assinantes do Barro’s Primary Reader, daqueles que tem computador pessoal em casa, o n^{0} médio de horas de uso semanal é de 7,4 . O n { }^{0} de horas aproximadas de uso segue uma distribuição Exponencial.
a) Qual a probabilidade de que o assinante gaste até 3 horas usando o computador pessoal em casa?
b) Qual a probabilidade de que o assinante gaste entre 3 e 10 horas usando o computador pessoal em casa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Foi informado que o número médio de horas de uso semanal é 7,4.
  • O número de horas de uso segue uma distribuição Exponencial (isto está no enunciado).
  • Pergunta (a): Qual a probabilidade de que o assinante gaste até 3 horas usando o computador pessoal em casa?
  • Pergunta (b): Qual a probabilidade de que o assinante gaste entre 3 e 10 horas usando o computador pessoal em casa?

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas básicas da distribuição Exponencial (aula rápida). Seja X o tempo de uso (em horas) que segue Exponencial com parâmetro \lambda>0. As fórmulas principais são:
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0,
F_X(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0,
onde f_X(x) é a função densidade (não precisamos integrá-la aqui) e F_X(x) é a função distribuição acumulada (CDF), que dá diretamente probabilidades do tipo P(X\le x). Além disso, a esperança (média) da distribuição exponencial é
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Explicando em miúdos: \lambda controla a “taxa” — quanto maior \lambda, menor a média; e a CDF F_X(x)=1-e^{-\lambda x} é a fórmula que usamos para calcular P(X\le x). Sempre que precisarmos de P(a\le X\le b) usamos F_X(b)-F_X(a).

Passo 3

Do enunciado sabemos a média \mathbb{E}[X]=7,4. Usando \mathbb{E}[X]=1/\lambda obtemos \lambda:
\lambda=\frac{1}{7,4}\approx 0,135135\ldotp
Isso significa que, nas fórmulas abaixo, devemos substituir \lambda por 1/7,4.

Passo 4

Resolvendo a letra (a). Queremos P(X\le 3). Usamos a CDF:
P(X\le 3)=F_X(3)=1-e^{-\lambda\cdot 3}.
Substituindo \lambda=\dfrac{1}{7,4},
P(X\le 3)=1-\exp\!\biggl(-\frac{3}{7,4}\biggr).
Agora calculamos numericamente: \dfrac{3}{7,4}\approx 0,405405. Logo
\exp\!\biggl(-\frac{3}{7,4}\biggr)\approx e^{-0,405405}\approx 0,6667065,
portanto
P(X\le 3)\approx 1-0,6667065=0,3332935\approx 0,3333.

Passo 5

Resolvendo a letra (b). Queremos P(3\le X\le 10). Usamos a diferença das CDFs:
P(3\le X\le 10)=F_X(10)-F_X(3)=\bigl(1-e^{-\lambda\cdot 10}\bigr)-\bigl(1-e^{-\lambda\cdot 3}\bigr).
Simplificando,
P(3\le X\le 10)=e^{-\lambda\cdot 3}-e^{-\lambda\cdot 10}.
Substituindo \lambda=\dfrac{1}{7,4},
P(3\le X\le 10)=\exp\!\biggl(-\frac{3}{7,4}\biggr)-\exp\!\biggl(-\frac{10}{7,4}\biggr).
Já calculamos \exp\!\bigl(-\frac{3}{7,4}\bigr)\approx 0,6667065. Agora calculemos \dfrac{10}{7,4}\approx 1,351351 e
\exp\!\biggl(-\frac{10}{7,4}\biggr)\approx e^{-1,351351}\approx 0,259024.
Portanto
P(3\le X\le 10)\approx 0,6667065-0,259024=0,4076825\approx 0,4077.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o resultado da parte (a) mostra que cerca de 33,33\% dos assinantes usam até 3 horas por semana; a parte (b) mostra que cerca de 40,77\% usam entre 3 e 10 horas. Tá indo bem — lembra: para exponencial sempre pega a média para achar \lambda e depois aplica a CDF 1-e^{-\lambda x}.

Resposta

P(X\le 3)\approx 0,3333
P(3\le X\le 10)\approx 0,4077

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