De acordo com um levantamento de dados,
dos assinantes do Barro’s Primary Reader, daqueles que tem computador pessoal em casa, o
médio de horas de uso semanal é de 7,4 . O n
de horas aproximadas de uso segue uma distribuição Exponencial.
a) Qual a probabilidade de que o assinante gaste até 3 horas usando o computador pessoal em casa?
b) Qual a probabilidade de que o assinante gaste entre 3 e 10 horas usando o computador pessoal em casa?
a) Qual a probabilidade de que o assinante gaste até 3 horas usando o computador pessoal em casa?
b) Qual a probabilidade de que o assinante gaste entre 3 e 10 horas usando o computador pessoal em casa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Foi informado que o número médio de horas de uso semanal é
. - O número de horas de uso segue uma distribuição Exponencial (isto está no enunciado).
- Pergunta (a): Qual a probabilidade de que o assinante gaste até
horas usando o computador pessoal em casa? - Pergunta (b): Qual a probabilidade de que o assinante gaste entre
e horas usando o computador pessoal em casa?
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas básicas da distribuição Exponencial (aula rápida). Seja
o tempo de uso (em horas) que segue Exponencial com parâmetro
. As fórmulas principais são:
onde
é a função densidade (não precisamos integrá-la aqui) e
é a função distribuição acumulada (CDF), que dá diretamente probabilidades do tipo
. Além disso, a esperança (média) da distribuição exponencial é
Explicando em miúdos:
controla a “taxa” — quanto maior
, menor a média; e a CDF
é a fórmula que usamos para calcular
. Sempre que precisarmos de
usamos
.
Passo 3
Do enunciado sabemos a média
. Usando
obtemos
:
Isso significa que, nas fórmulas abaixo, devemos substituir
por
.
Passo 4
Resolvendo a letra (a). Queremos
. Usamos a CDF:
Substituindo
,
Agora calculamos numericamente:
. Logo
portanto
Passo 5
Resolvendo a letra (b). Queremos
. Usamos a diferença das CDFs:
Simplificando,
Substituindo
,
Já calculamos
. Agora calculemos
e
Portanto
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: o resultado da parte (a) mostra que cerca de
dos assinantes usam até
horas por semana; a parte (b) mostra que cerca de
usam entre
e
horas. Tá indo bem — lembra: para exponencial sempre pega a média para achar
e depois aplica a CDF
.