Quanto tempo é necessário para atender um cliente em uma loja? O tempo gasto no atendimento dos clientes de uma loja de roupas segue uma distribuição Exponencial cuja média é de 15 minutos.
(a) Qual a probabilidade de que o tempo de atendimento de um determinado cliente selecionado ao acaso seja de pelo menos 30 minutos?
(b) Qual o valor de T para que um cliente seja atendido em T minutos no máximo, com 98 \% de probabilidade?

Passo 1

O enunciado dá que o tempo de atendimento segue uma distribuição Exponencial com média de 15 minutos. Perguntas:
(a) Calcular a probabilidade de que o tempo de atendimento de um cliente seja de pelo menos 30 minutos, isto é P(X \ge 30).
(b) Determinar o valor de T tal que um cliente seja atendido em T minutos no máximo com 98\% de probabilidade, isto é achar T tal que P(X \le T)=0,98.

Passo 2

Relembrando a definição e a relação entre parâmetros (aulas rápidas e úteis):
A distribuição Exponencial tem parâmetro de taxa \lambda>0. A esperança (média) de uma variável exponencial X é
\mathrm{E}(X)=\frac{1}{\lambda}.
Aqui a média é 15 minutos, logo
\frac{1}{\lambda}=15.
Isolando \lambda obtemos
\lambda=\frac{1}{15}.
Interpretação: \lambda é a taxa por minuto; no nosso caso \lambda=\tfrac{1}{15} por minuto.

Passo 3

Fórmulas importantes para Exponencial (lembrando passo a passo):
A função de distribuição acumulada (CDF) é
F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\quad x\ge0.
A função de sobrevivência (complemento da CDF) é
P(X\ge x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}.
Essas fórmulas vêm da definição da densidade f(x)=\lambda e^{-\lambda x} e da integração da mesma; aqui só precisamos do resultado.

Passo 4

Resolvendo (a): queremos P(X\ge 30). Usamos a função de sobrevivência com x=30:
P(X\ge 30)=e^{-\lambda\cdot 30}.
Substituindo \lambda=\tfrac{1}{15},
P(X\ge 30)=e^{-\frac{1}{15}\cdot 30}=e^{-2}.
Agora uma aproximação numérica para usar na prova (ou interpretar):
e^{-2}\approx 0,135335283.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) temos 0,14 ou com quatro casas 0,1353. Significado: cerca de 13{,}5\% dos atendimentos duram pelo menos 30 minutos.

Passo 5

Resolvendo (b): queremos T tal que P(X\le T)=0,98. Usamos a CDF:
1-e^{-\lambda T}=0,98.
Isolando o termo exponencial:
e^{-\lambda T}=1-0,98=0,02.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados (recorde: \ln(e^{u})=u):
-\lambda T=\ln(0,02).
Logo
T=-\frac{\ln(0,02)}{\lambda}.
Substituindo \lambda=\tfrac{1}{15} (ou seja dividir por \lambda é multiplicar por 15):
T=-\ln(0,02)\cdot 15.

Passo 6

Cálculo numérico de T. Primeiro \ln(0,02) vale aproximadamente -3{,}912023005. Então
T=-(-3{,}912023005)\cdot 15=3{,}912023005\cdot 15\approx 58{,}68034508.
Arredondando para duas casas decimais (prático em prova) obtemos T\approx 58{,}68 minutos. Interpretação: com 98\% de probabilidade o atendimento terminará em até cerca de 58{,}7 minutos.

Passo 7

Checagem rápida (consistência): se colocarmos T\approx 58{,}68 na sobrevivência obtemos P(X\ge T)\approx 0{,}02, ou seja P(X\le T)\approx 0{,}98, consistente com o pedido.

Resposta

(a) e^{-2}\approx 0,1353
(b) T\approx 58{,}68 minutos

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