Quanto tempo é necessário para atender um cliente em uma loja? O tempo gasto no atendimento dos clientes de uma loja de roupas segue uma distribuição Exponencial cuja média é de 15 minutos.
(a) Qual a probabilidade de que o tempo de atendimento de um determinado cliente selecionado ao acaso seja de pelo menos 30 minutos?
(b) Qual o valor de T para que um cliente seja atendido em T minutos no máximo, com
de probabilidade?
(a) Qual a probabilidade de que o tempo de atendimento de um determinado cliente selecionado ao acaso seja de pelo menos 30 minutos?
(b) Qual o valor de T para que um cliente seja atendido em T minutos no máximo, com
Passo 1
O enunciado dá que o tempo de atendimento segue uma distribuição Exponencial com média de
minutos. Perguntas:
(a) Calcular a probabilidade de que o tempo de atendimento de um cliente seja de pelo menos minutos, isto é
.
(b) Determinar o valor de tal que um cliente seja atendido em
minutos no máximo com
de probabilidade, isto é achar
tal que
.
(a) Calcular a probabilidade de que o tempo de atendimento de um cliente seja de pelo menos
(b) Determinar o valor de
Passo 2
Relembrando a definição e a relação entre parâmetros (aulas rápidas e úteis):
A distribuição Exponencial tem parâmetro de taxa . A esperança (média) de uma variável exponencial
é
A distribuição Exponencial tem parâmetro de taxa
Aqui a média é
minutos, logo
Isolando
obtemos
Interpretação:
é a taxa por minuto; no nosso caso
por minuto.
Passo 3
Fórmulas importantes para Exponencial (lembrando passo a passo):
A função de distribuição acumulada (CDF) é
A função de distribuição acumulada (CDF) é
A função de sobrevivência (complemento da CDF) é
Essas fórmulas vêm da definição da densidade
e da integração da mesma; aqui só precisamos do resultado.
Passo 4
Resolvendo (a): queremos
. Usamos a função de sobrevivência com
:
Substituindo
,
Agora uma aproximação numérica para usar na prova (ou interpretar):
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) temos
ou com quatro casas
. Significado: cerca de
dos atendimentos duram pelo menos
minutos.
Passo 5
Resolvendo (b): queremos
tal que
. Usamos a CDF:
Isolando o termo exponencial:
Tomando logaritmo natural em ambos os lados (recorde:
):
Logo
Substituindo
(ou seja dividir por
é multiplicar por
):
Passo 6
Cálculo numérico de
. Primeiro
vale aproximadamente
. Então
Arredondando para duas casas decimais (prático em prova) obtemos
minutos. Interpretação: com
de probabilidade o atendimento terminará em até cerca de
minutos.
Passo 7
Checagem rápida (consistência): se colocarmos
na sobrevivência obtemos
, ou seja
, consistente com o pedido.
Resposta
(a)
(b)
minutos