Um computador infectado por um vírus perde, a cada hora, \frac{1}{3} da memória que perdeu na hora anterior. A perda de memória desse computador ao final da 4^{\text {a}} hora, em representação fracionária é :
1
81
\bigcirc \quad 1
27
1
9
4
3

Passo 1

O enunciado informa que, a cada hora, o computador perde \tfrac{1}{3} da memória que perdeu na hora anterior. A pergunta é: qual é a perda de memória no final da 4^{\text{a}} hora, em forma fracionária?
Dados extraídos do enunciado: a perda na hora seguinte é sempre \tfrac{1}{3} da perda da hora anterior.
O que nos falta explicitar (mas que é a interpretação natural deste tipo de problema e que coincide com as alternativas): a perda na 1ª hora é \tfrac{1}{3} da memória total, e a partir daí cada perda segue a regra dada.

Passo 2

Modelagem em sequência: seja L_n a perda de memória durante a n-ésima hora (por exemplo, L_1 é a perda na 1ª hora, L_2 na 2ª, etc.). A relação dada diz que
L_{n+1}=\frac{1}{3}L_n
para todo n. Ou seja, cada termo é obtido multiplicando o anterior por \tfrac{1}{3}.

Passo 3

Explicação didática do tipo de sequência: a sequência (L_n) é uma progressão geométrica porque cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante (a razão). Aqui a razão é
r=\frac{1}{3}.
Em uma progressão geométrica, se o primeiro termo é L_1, então o n-ésimo termo é dado pela fórmula
L_n = L_1\cdot r^{\,n-1}.
Nesta fórmula, L_1 é o valor perdido na primeira hora, r é a razão ( \tfrac{1}{3}) e n indica a hora.

Passo 4

Usando a fórmula da progressão geométrica com r=\tfrac{1}{3} temos
L_n = L_1\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}.
Queremos a perda na 4^{\text{a}} hora, ou seja L_4. Substituindo n=4 obtemos
L_4 = L_1\left(\frac{1}{3}\right)^{3}.

Passo 5

Agora usamos a interpretação natural mencionada no Passo 1: na 1ª hora o computador perde \tfrac{1}{3} da memória total, então L_1=\tfrac{1}{3}. Substituindo em L_4:
L_4 = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{3}.
Calculemos passo a passo: \left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}=\dfrac{1}{27}. Então
L_4=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{27}=\frac{1}{81}.

Resposta

\dfrac{1}{81}

Exercícios relacionados