Um computador infectado por um vírus perde, a cada hora,
da memória que perdeu na hora anterior. A perda de memória desse computador ao final da
hora, em representação fracionária é :
1
81
27
1
9
4
3
81
27
1
9
4
3
Passo 1
O enunciado informa que, a cada hora, o computador perde
da memória que perdeu na hora anterior. A pergunta é: qual é a perda de memória no final da
hora, em forma fracionária?
Dados extraídos do enunciado: a perda na hora seguinte é sempre da perda da hora anterior.
O que nos falta explicitar (mas que é a interpretação natural deste tipo de problema e que coincide com as alternativas): a perda na 1ª hora é da memória total, e a partir daí cada perda segue a regra dada.
Dados extraídos do enunciado: a perda na hora seguinte é sempre
O que nos falta explicitar (mas que é a interpretação natural deste tipo de problema e que coincide com as alternativas): a perda na 1ª hora é
Passo 2
Modelagem em sequência: seja
a perda de memória durante a
-ésima hora (por exemplo,
é a perda na 1ª hora,
na 2ª, etc.). A relação dada diz que
para todo
. Ou seja, cada termo é obtido multiplicando o anterior por
.
Passo 3
Explicação didática do tipo de sequência: a sequência
é uma progressão geométrica porque cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante (a razão). Aqui a razão é
Em uma progressão geométrica, se o primeiro termo é
, então o
-ésimo termo é dado pela fórmula
Nesta fórmula,
é o valor perdido na primeira hora,
é a razão (
) e
indica a hora.
Passo 4
Usando a fórmula da progressão geométrica com
temos
Queremos a perda na
hora, ou seja
. Substituindo
obtemos
Passo 5
Agora usamos a interpretação natural mencionada no Passo 1: na 1ª hora o computador perde
da memória total, então
. Substituindo em
:
Calculemos passo a passo:
. Então