Durante a manutenção de uma estação elevatória de esgoto, um engenheiro precisa esvaziar rapidamente um reservatório para fazer reparos. Para isso, abre uma comporta situada na base do tanque, permitindo o escoamento do líquido por gravidade. Um corpo-flutuador de monitoramento, inicialmente em repouso na superfície do líquido, começa a descer junto com o nível da água. Suponha que a comporta seja aberta de forma controlada, gerando um movimento vertical uniformemente acelerado do flutuador para baixo, com aceleração constante de 0,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. A profundidade inicial do líquido é de 4,0 \mathrm{~m}. a) Determine o tempo necessário para que o flutuador atinja o fundo do reservatório. b) Calcule a velocidade do flutuador no instante em que ele toca o fundo.
c) Se o engenheiro pretende sincronizar o início de uma operação de bombeamento de emergência exatamente no instante em que o flutuador toca o fundo, e se acionamento desse bombeamento tenha um tempo de resposta de 1,2 \mathrm{~s}, a que altura do fundo a boia deve estar quando o sistema for acionado?
Resp.: a) \mathbf{5 , 6 6 ~ s ; ~ b ) ~} \mathbf{1 , 4 1 5 ~ m / s ; c )} \mathbf{1 , 5 ~ m}

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede. Dados relevantes (peguei-os do enunciado):
a = 0,25\\ \mathrm{m/s^{2}}\quad\text{(aceleração constante para baixo)},çã
s_{\text{total}} = 4,0\\ \mathrm{m}\quad\text{(profundidade inicial até o fundo)},é
v_0 = 0\\ \mathrm{m/s}\quad\text{(a boia começa em repouso na superfície)},çí
t_{\text{resp}}=1,2\\ \mathrm{s}\quad\text{(tempo de resposta do bombeamento).}
Perguntas:
a) Determinar o tempo t que a boia leva para atingir o fundo.
b) Determinar a velocidade v da boia no instante do impacto com o fundo.
c) Determinar a que altura do fundo (distância ao fundo) a boia deve estar quando o bombeamento for acionado, de modo que, após 1,2\\ \mathrm{s} de resposta, o bombeamento comece exatamente no instante do toque no fundo.

Passo 2

Relembrando a fórmula de movimento uniformemente acelerado (MU): a posição deslocada s em relação à posição inicial é dada por
s = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
Aqui s é o deslocamento (m), s_0 é posição inicial (m), v_0 é velocidade inicial (m/s), a é aceleração (m/s²) e t é o tempo (s). Como podemos escolher s_0=0 na superfície e tomar a direção para baixo como positiva, o corpo precisa deslocar s=4,0\\ \mathrm{m} com v_0=0. Substituindo na fórmula:
4,0 = 0 + 0\cdot t + \tfrac{1}{2}\cdot 0,25 \cdot t^2.
Calculando o coeficiente:
\tfrac{1}{2}\cdot 0,25 = 0,125,
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0,125\,t^2 = 4,0 \quad\Rightarrow\quad t^2 = \frac{4,0}{0,125}=32.
Tomando raiz quadrada:
t = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5,656854\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
t \approx 5,66\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Para achar a velocidade no impacto usamos a relação
v = v_0 + a t.
Como v_0=0,
v = 0 + 0,25\cdot 5,656854 \approx 1,4142135\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três casas decimais (como no resultado fornecido):
v \approx 1,415\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora a parte (c): o engenheiro quer acionar o bombeamento de forma que, após o tempo de resposta t_{\text{resp}}=1,2\\ \mathrm{s}, o bombeamento comece exatamente quando a boia tocar o fundo. Isso significa que o acionamento deve ocorrer 1,2\\ \mathrm{s} antes do instante de toque. Então o tempo de acionamento é
t_{\text{act}} = t - t_{\text{resp}} = 5,656854 - 1,2 = 4,456854\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Precisamos saber qual é a distância que falta percorrer da boia a partir do instante de acionamento até o toque no fundo (isto é, a altura ao fundo na qual a boia deve estar quando o sistema for acionado). Em um intervalo \Delta t = 1,2\\ \mathrm{s} começando com velocidade v_{\text{act}} (velocidade no instante de acionamento), o deslocamento é
\Delta s = v_{\text{act}}\Delta t + \tfrac{1}{2}a(\Delta t)^2.
Primeiro calculamos v_{\text{act}}:
v_{\text{act}} = v_0 + a t_{\text{act}} = 0 + 0,25\cdot 4,456854 \approx 1,1142135\\ \mathrm{m/s}.
Agora aplicamos na fórmula do deslocamento em \Delta t=1,2\\ \mathrm{s}:
\Delta s = 1,1142135\cdot 1,2 + \tfrac{1}{2}\cdot 0,25 \cdot (1,2)^2.
Calculemos os termos:
1,1142135\cdot 1,2 \approx 1,3370562,
\tfrac{1}{2}\cdot 0,25 \cdot 1,2^2 = 0,125\cdot 1,44 = 0,18.
Somando,
\Delta s \approx 1,3370562 + 0,18 = 1,5170562\\ \mathrm{m}.
Arredondando para uma casa decimal, conforme o resultado fornecido:
\Delta s \approx 1,5\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) 5,66\\ \mathrm{s}
b) 1,415\\ \mathrm{m/s}
c) 1,5\\ \mathrm{m}

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