Durante a manutenção de uma estação elevatória de esgoto, um engenheiro precisa esvaziar rapidamente um reservatório para fazer reparos. Para isso, abre uma comporta situada na base do tanque, permitindo o escoamento do líquido por gravidade. Um corpo-flutuador de monitoramento, inicialmente em repouso na superfície do líquido, começa a descer junto com o nível da água. Suponha que a comporta seja aberta de forma controlada, gerando um movimento vertical uniformemente acelerado do flutuador para baixo, com aceleração constante de
. A profundidade inicial do líquido é de
. a) Determine o tempo necessário para que o flutuador atinja o fundo do reservatório. b) Calcule a velocidade do flutuador no instante em que ele toca o fundo.
c) Se o engenheiro pretende sincronizar o início de uma operação de bombeamento de emergência exatamente no instante em que o flutuador toca o fundo, e se acionamento desse bombeamento tenha um tempo de resposta de
, a que altura do fundo a boia deve estar quando o sistema for acionado?
Resp.: a)
c) Se o engenheiro pretende sincronizar o início de uma operação de bombeamento de emergência exatamente no instante em que o flutuador toca o fundo, e se acionamento desse bombeamento tenha um tempo de resposta de
Passo 1
Identificar o que o enunciado dá e o que pede. Dados relevantes (peguei-os do enunciado):
Perguntas:
a) Determinar o tempo que a boia leva para atingir o fundo.
b) Determinar a velocidade da boia no instante do impacto com o fundo.
c) Determinar a que altura do fundo (distância ao fundo) a boia deve estar quando o bombeamento for acionado, de modo que, após de resposta, o bombeamento comece exatamente no instante do toque no fundo.
a) Determinar o tempo
b) Determinar a velocidade
c) Determinar a que altura do fundo (distância ao fundo) a boia deve estar quando o bombeamento for acionado, de modo que, após
Passo 2
Relembrando a fórmula de movimento uniformemente acelerado (MU): a posição deslocada
em relação à posição inicial é dada por
Aqui
é o deslocamento (m),
é posição inicial (m),
é velocidade inicial (m/s),
é aceleração (m/s²) e
é o tempo (s). Como podemos escolher
na superfície e tomar a direção para baixo como positiva, o corpo precisa deslocar
com
. Substituindo na fórmula:
Calculando o coeficiente:
logo
Tomando raiz quadrada:
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
Passo 3
Para achar a velocidade no impacto usamos a relação
Como
,
Arredondando para três casas decimais (como no resultado fornecido):
Passo 4
Agora a parte (c): o engenheiro quer acionar o bombeamento de forma que, após o tempo de resposta
, o bombeamento comece exatamente quando a boia tocar o fundo. Isso significa que o acionamento deve ocorrer
antes do instante de toque. Então o tempo de acionamento é
Passo 5
Precisamos saber qual é a distância que falta percorrer da boia a partir do instante de acionamento até o toque no fundo (isto é, a altura ao fundo na qual a boia deve estar quando o sistema for acionado). Em um intervalo
começando com velocidade
(velocidade no instante de acionamento), o deslocamento é
Primeiro calculamos
:
Agora aplicamos na fórmula do deslocamento em
:
Calculemos os termos:
Somando,
Arredondando para uma casa decimal, conforme o resultado fornecido:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)