Compute
e^{3-\pi i}+\log (e).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \,e^{3-\pi i}+\log(e)\,.
Informações dadas e relevantes: \pi é a constante real conhecida; temos uma exponencial com expoente complexo \,3-\pi i\, e um logaritmo de e. Não foram dadas outras convenções, portanto usaremos a convenção usual (logaritmo natural principal).

Passo 2

Usamos a propriedade básica das exponenciais que vale para números complexos também:
e^{a+b}=e^{a}\,e^{b},
onde a e b são quaisquer números complexos. Aplicando a propriedade ao expoente 3-\pi i obtemos
e^{3-\pi i}=e^{3}\,e^{-\pi i}.
Explico: aqui \,e^{3}\, é a parte real da escala (um número real positivo) e \,e^{-\pi i}\, contém a parte angular complexa.

Passo 3

Agora precisamos avaliar \,e^{-\pi i}\,. Usamos a fórmula de Euler, que relaciona exponencial complexa com funções trigonométricas:
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,
onde \theta é um número real; isso significa que para qualquer \theta real a exponencial complexa dá um ponto no círculo unitário. Substituindo \theta=-\pi obtemos
e^{-\pi i}=\cos(-\pi)+i\sin(-\pi).
Como \cos(-\pi)=\cos\pi e \sin(-\pi)=-\sin\pi, e conhecemos os valores \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, segue que
e^{-\pi i}=\cos\pi - i\sin\pi = -1 - i\cdot 0 = -1.

Passo 4

Substituindo o resultado do passo anterior em \,e^{3-\pi i}=e^{3}\,e^{-\pi i}\,, obtemos
e^{3-\pi i}=e^{3}\cdot(-1)=-e^{3}.
Então a parte exponencial da expressão já virou um número real negativo.

Passo 5

Falta calcular \log(e). Aqui usamos o logaritmo natural (principal), cuja definição básica é a função inversa de e^{x} para x real: para x\in\mathbb{R} temos \log(e^{x})=x. Em particular,
\log(e)=1.
Observação rápida (sem complicar a prova): na teoria complexa o logaritmo é multi‑valorado ( \log(e)=1+2\pi i k para k\in\mathbb{Z}), mas em exercícios elementares e na convenção principal usamos \log(e)=1.

Passo 6

Somamos os dois resultados: de um lado \,e^{3-\pi i}=-e^{3}\, (Passo 4) e do outro \,\log(e)=1 (Passo 5). Portanto
e^{3-\pi i}+\log(e) = -e^{3}+1 = 1-e^{3}.
Pronto — a parte imaginária cancelou e o resultado é um número real.

Resposta

1-e^{3}

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