Compute
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
.
Informações dadas e relevantes: é a constante real conhecida; temos uma exponencial com expoente complexo
e um logaritmo de
. Não foram dadas outras convenções, portanto usaremos a convenção usual (logaritmo natural principal).
Informações dadas e relevantes:
Passo 2
Usamos a propriedade básica das exponenciais que vale para números complexos também:
onde
e
são quaisquer números complexos. Aplicando a propriedade ao expoente
obtemos
Explico: aqui
é a parte real da escala (um número real positivo) e
contém a parte angular complexa.
Passo 3
Agora precisamos avaliar
. Usamos a fórmula de Euler, que relaciona exponencial complexa com funções trigonométricas:
onde
é um número real; isso significa que para qualquer
real a exponencial complexa dá um ponto no círculo unitário. Substituindo
obtemos
Como
e
, e conhecemos os valores
e
, segue que
Passo 4
Substituindo o resultado do passo anterior em
, obtemos
Então a parte exponencial da expressão já virou um número real negativo.
Passo 5
Falta calcular
. Aqui usamos o logaritmo natural (principal), cuja definição básica é a função inversa de
para
real: para
temos
. Em particular,
Observação rápida (sem complicar a prova): na teoria complexa o logaritmo é multi‑valorado (
para
), mas em exercícios elementares e na convenção principal usamos
.
Passo 6
Somamos os dois resultados: de um lado
(Passo 4) e do outro
(Passo 5). Portanto
Pronto — a parte imaginária cancelou e o resultado é um número real.