Dados dois números complexos não nulos z e w, mostre que |z+w|=|z|+|w| se e somente se w=t z para algum t>0.

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos não nulos z e w e pede para mostrar a equivalência lógica:
|z+w| = |z| + |w| \quad\text{se e somente se}\quad w = t z \text{ para algum } t>0.
Informações relevantes fornecidas:
  • z\neq 0 e w\neq 0.
  • A igualdade a provar envolve o módulo (valor absoluto) de números complexos.
    O que precisamos demonstrar:
  1. Se |z+w| = |z| + |w| então existe t>0 tal que w = t z.
  2. Se existe t>0 com w = t z então |z+w| = |z| + |w|.

Passo 2

Ferramentas básicas que vamos usar (explicadas):
  • Para qualquer complexo u tem-se |u|^2 = u\overline{u}, onde \overline{u} é o conjugado de u. Isso vem da definição do módulo como comprimento do vetor correspondente.
  • Produto de módulos: |uv| = |u|\,|v|.
  • Para qualquer complexo u, a parte real \Re(u) satisfaz \Re(u)\le |u|, e a igualdade \Re(u)=|u| ocorre exatamente quando u é um número real não negativo. Explicando isso de forma simples: escrevendo u = r e^{i\theta} com r=|u|\ge0, temos \Re(u)=r\cos\theta\le r, com igualdade somente se \cos\theta=1, isto é \theta=0 e u=r>0 (ou r=0, mas aqui cuidamos de não nulos quando necessário).
  • Vamos usar a expansão do quadrado do módulo:
|z+w|^2 = (z+w)(\overline{z}+\overline{w}) = |z|^2 + |w|^2 + 2\Re\bigl(z\overline{w}\bigr).

Passo 3

Prova da direção "se |z+w| = |z| + |w| então w = t z com t>0":
  • Assuma |z+w| = |z| + |w|. Eleve ao quadrado ambos os lados (todos os termos são não negativos, então isso preserva a equivalência):
|z+w|^2 = (|z|+|w|)^2 = |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w|.
  • Use a fórmula do passo anterior para |z+w|^2. Igualando:
|z|^2 + |w|^2 + 2\Re\bigl(z\overline{w}\bigr) = |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w|.
  • Cancelando |z|^2+|w|^2 obtemos
\Re\bigl(z\overline{w}\bigr) = |z||w|.
  • Agora aplique a observação sobre \Re(u)\le |u| ao número u = z\overline{w}. Temos \Re(z\overline{w}) \le |z\overline{w}| = |z||w|. A igualdade \Re(z\overline{w}) = |z||w| forçada acima implica, pela caracterização da igualdade, que z\overline{w} é um número real não negativo e, especificamente,
z\overline{w} = |z||w|.
  • Como z\neq 0, podemos dividir ambos os lados por |z|^2 (ou diretamente por z depois de manipular). Uma forma clara: escrevendo a igualdade como
\frac{z\overline{w}}{|z|^2} = \frac{|z||w|}{|z|^2} = \frac{|w|}{|z|},
observe que \frac{z}{|z|} tem módulo 1, então \frac{z\overline{w}}{|z|^2} = \frac{\overline{w}}{\overline{z}} \cdot \frac{z\overline{z}}{|z|^2} = \frac{\overline{w}}{\overline{z}}. Mais direto: a igualdade z\overline{w}=|z||w| implica
\overline{w} = \frac{|z||w|}{z}.
Tomando conjugado,
w = \frac{|z||w|}{\overline{z}}.
Mas é mais simples observar que a igualdade z\overline{w}=|z||w| significa que z e w têm o mesmo argumento (a diferença de argumentos é 0), portanto w é um múltiplo real positivo de z. Precisando de um t explícito, defina
t := \frac{|w|}{|z|}.
Então t>0 (pois z e w são não nulos) e reorganizando a igualdade inicial chegamos a
w = t z.
Logo provamos a direção desejada.

Passo 4

Prova da direção "se w = t z com t>0 então |z+w| = |z| + |w|":
  • Suponha w = t z com t>0.
  • Calcule o módulo de z+w:
|z+w| = |z + tz| = |(1+t)z| = |1+t|\,|z|.
  • Como 1+t é um número real e positivo (porque t>0), temos |1+t| = 1+t. Assim
|z+w| = (1+t)|z| = |z| + t|z|.
  • Mas |w| = |t z| = t|z| (produto de módulo por escalar real positivo). Portanto
|z+w| = |z| + |w|.
Isso fecha a segunda direção.

Passo 5

Resumo e observação final (didática, para fixar):
  • Intuição geométrica: em termos de vetores no plano, a igualdade |z+w| = |z| + |w| diz que o comprimento do vetor soma é a soma dos comprimentos, o que só ocorre quando os vetores apontam exatamente na mesma direção e no mesmo sentido — isto é, um é um múltiplo positivo do outro.
  • Formalmente mostramos as duas implicações, e também explicitamos a constante positiva t que funciona:
t = \frac{|w|}{|z|} > 0.

Resposta

w = t z para t = \dfrac{|w|}{|z|} > 0

Exercícios relacionados