Se
e
h, expresse os seguintes números na forma algébrica
:
.
Passo 1
O enunciado dá
e
e pede que expressemos, na forma algébrica
, o número
Informações relevantes que temos do enunciado:
As quantidades a calcular são
e
, depois aplicar
e
e combinar os termos.
Passo 2
Calcular
e
.
Explicação do conceito:
é o argumento (ângulo) do número complexo
. Se
é um número real positivo, seu argumento é
porque está sobre o eixo real positivo.
Como
é real e positivo, temos
Então
Multiplicando por
,
Portanto o primeiro termo é
. (Dica rápida: sempre que o argumento for
, seno é zero e cosseno é
.)
Passo 3
Religar ao termo
. Primeiro, usar uma propriedade importante: multiplicar um número complexo por um escalar positivo não altera seu argumento. Logo, para
,
Explicando a propriedade: escrever
em forma polar como
. Então
; a magnitude muda (
) mas o ângulo
permanece.
Portanto precisamos de
com
.
Passo 4
Calcular
para
.
Explicação do procedimento: para
com
, uma maneira prática é usar
, tomando cuidado com o quadrante. Aqui
e
, então
está no quarto quadrante e a fórmula direta dá o ângulo correto.
Calculando:
(Observação:
está no intervalo principal
, então é o valor adequado.)
Passo 5
Calcular
sabendo que
.
Usando paridade do cosseno:
Explicação curta:
é função par, então
. E
é um valor conhecido dos ângulos notáveis.
Passo 6
Multiplicar
por esse cosseno:
.
Fazendo a multiplicação passo a passo (distributiva):
Aqui explico os termos: o primeiro é a parte real
e o segundo é a parte imaginária
.
Passo 7
Somar o resultado do Passo 2 (que foi
) ao resultado do Passo 6.
Temos