Se z=1-\imath e w=4 h, expresse os seguintes números na forma algébrica x+y i :
3 i \operatorname{sen}(\operatorname{Arg}(w))+z \cos (\operatorname{Arg}(5 z)).

Passo 1

O enunciado dá z=1-i e w=4 e pede que expressemos, na forma algébrica x+yi, o número
3i\operatorname{sen}(\operatorname{Arg}(w))+z\cos(\operatorname{Arg}(5z)).
Informações relevantes que temos do enunciado:
z=1-i,\qquad w=4.
As quantidades a calcular são \operatorname{Arg}(w) e \operatorname{Arg}(5z), depois aplicar \operatorname{sen} e \cos e combinar os termos.

Passo 2

Calcular \operatorname{Arg}(w) e 3i\operatorname{sen}(\operatorname{Arg}(w)).
Explicação do conceito: \operatorname{Arg}(w) é o argumento (ângulo) do número complexo w. Se w é um número real positivo, seu argumento é 0 porque está sobre o eixo real positivo.
Como w=4 é real e positivo, temos
\operatorname{Arg}(w)=0.
Então
\operatorname{sen}(\operatorname{Arg}(w))=\operatorname{sen}(0)=0.
Multiplicando por 3i,
3i\operatorname{sen}(\operatorname{Arg}(w))=3i\cdot 0=0.
Portanto o primeiro termo é 0. (Dica rápida: sempre que o argumento for 0, seno é zero e cosseno é 1.)

Passo 3

Religar ao termo z\cos(\operatorname{Arg}(5z)). Primeiro, usar uma propriedade importante: multiplicar um número complexo por um escalar positivo não altera seu argumento. Logo, para 5>0,
\operatorname{Arg}(5z)=\operatorname{Arg}(z).
Explicando a propriedade: escrever z em forma polar como z=r e^{i\theta}. Então 5z=(5r)e^{i\theta}; a magnitude muda ( 5r) mas o ângulo \theta permanece.
Portanto precisamos de \operatorname{Arg}(z) com z=1-i.

Passo 4

Calcular \operatorname{Arg}(z) para z=1-i.
Explicação do procedimento: para z=a+bi com a\neq 0, uma maneira prática é usar \theta=\arctan\!\left(\dfrac{b}{a}\right), tomando cuidado com o quadrante. Aqui a=1>0 e b=-1<0, então z está no quarto quadrante e a fórmula direta dá o ângulo correto.
Calculando:
\operatorname{Arg}(z)=\arctan\!\left(\dfrac{-1}{1}\right)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}.
(Observação: -\pi/4 está no intervalo principal (-\pi,\pi], então é o valor adequado.)

Passo 5

Calcular \cos(\operatorname{Arg}(5z)) sabendo que \operatorname{Arg}(5z)=\operatorname{Arg}(z)=-\dfrac{\pi}{4}.
Usando paridade do cosseno:
\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Explicação curta: \cos é função par, então \cos(-\theta)=\cos(\theta). E \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} é um valor conhecido dos ângulos notáveis.

Passo 6

Multiplicar z por esse cosseno: z\cos(\operatorname{Arg}(5z))=(1-i)\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Fazendo a multiplicação passo a passo (distributiva):
(1-i)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot i=\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\,\frac{\sqrt{2}}{2}.
Aqui explico os termos: o primeiro é a parte real x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e o segundo é a parte imaginária y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Somar o resultado do Passo 2 (que foi 0) ao resultado do Passo 6.
Temos
3i\operatorname{sen}(\operatorname{Arg}(w))+z\cos(\operatorname{Arg}(5z))=0+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\,\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\,\frac{\sqrt{2}}{2}

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