Compute os polinômios de Taylor de graus 1,2 e 3 da função
no ponto
e use-os para aproximar os valores de
e
, comparando estes resultados com os obtidos em uma calculadora.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pedir: calcular os polinômios de Taylor de graus 1, 2 e 3 da função
no ponto e usar esses polinômios para aproximar , , e , comparando com a calculadora. - Informações dadas: a função é
e o ponto de expansão é . - Resultado esperado: os polinômios
centrados em e as aproximações numéricas para cada valor pedido, com comparação aos valores reais (obtidos por calculadora).
Passo 2
Relembrando a fórmula de Taylor (explicando bem devagar):
- O polinômio de Taylor de ordem
de uma função em torno de é
Aqui
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
. A ideia: aproximar a função por um polinômio que coincide com os
primeiros termos da expansão em torno de
.
- Vamos calcular as derivadas de
e avaliá‑las em .
Cálculo das derivadas e suas interpretações:
Avaliar em
:
Expliquei:
significa a inclinação da reta tangente em
;
informa a curvatura ali; usamos esses números nos coeficientes do polinômio.
Passo 3
Construção dos polinômios
usando a fórmula de Taylor com
:
- Ordem 1:
- Ordem 2:
- Ordem 3:
Resumo: os polinômios ficaram simples e fáceis de avaliar porque expandimos em torno de
.
Passo 4
Preparar as substituições (vou chamar
para facilitar):
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Agora avaliar
nas quatro abscissas, fazendo as contas passo a passo (sem pular etapas).
-
( ):
-
( ):
-
(Isto era esperado porquee todos os polinômios coincidem com a função no ponto de expansão.)
-
( ):
-
( ):
Passo 5
Valores “verdadeiros” obtidos na calculadora (para comparar) — aqui coloco as aproximações decimais:
Calcular os erros absolutos (diferença entre aproximação e valor verdadeiro):
- Para
: -
- Para
: todos os polinômios dão , logo erro . - Para
: -
- Para
: -
Observações rápidas: quanto mais próximo de
(pequeno
), melhor a aproximação com poucos termos; para
(
) os erros já são relativamente grandes, então é preciso mais termos para boa precisão.
Passo 6
Breve comentário sobre resto de Taylor (útil na prova):
- A forma de Lagrange do resto é
para algum
entre
e
. Isso diz que o erro depende da derivada de ordem
avaliada em algum ponto entre
e
e cresce com
.
- Exemplo de uso prático: para
e no intervalo pode-se boundear por se quiser uma cota grosseira do erro. A cota costuma ser pessimista, mas mostra por que o erro aumenta para valores mais distantes de .
Passo 7
Pequena motivação final: você viu passo a passo como montar as derivadas, montar os polinômios e avaliar numericamente sem pular contas — exatamente o que é cobrado numa prova. Se quiser, eu refaço as contas com mais casas decimais, faço a cota do resto para cada ponto ou mostro como usar mais termos para melhorar a aproximação (por exemplo, obter
com erro abaixo de
). Força aí — dá pra fazer isso!