Compute os polinômios de Taylor de graus 1,2 e 3 da função y=\ln x no ponto x_{0}=1 e use-os para aproximar os valores de \ln (0,8), \ln (1), \ln (1,2) e \ln (2), comparando estes resultados com os obtidos em uma calculadora.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedir: calcular os polinômios de Taylor de graus 1, 2 e 3 da função \ln x no ponto x_0=1 e usar esses polinômios para aproximar \ln(0,8), \ln(1), \ln(1,2) e \ln(2), comparando com a calculadora.
  • Informações dadas: a função é y=\ln x e o ponto de expansão é x_0=1.
  • Resultado esperado: os polinômios P_1,P_2,P_3 centrados em 1 e as aproximações numéricas para cada valor pedido, com comparação aos valores reais (obtidos por calculadora).

Passo 2

Relembrando a fórmula de Taylor (explicando bem devagar):
  • O polinômio de Taylor de ordem n de uma função f em torno de x_0 é
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k.
Aqui f^{(k)}(x_0) é a k-ésima derivada de f avaliada em x_0, e k! é o fatorial de k. A ideia: aproximar a função por um polinômio que coincide com os n primeiros termos da expansão em torno de x_0.
  • Vamos calcular as derivadas de f(x)=\ln x e avaliá‑las em x_0=1.
Cálculo das derivadas e suas interpretações:
f(x)=\ln x,\qquad f'(x)=\frac{1}{x},\qquad f''(x)=-\frac{1}{x^2},\qquad f^{(3)}(x)=\frac{2}{x^3},\qquad f^{(4)}(x)=-\frac{6}{x^4},\\ \ldots
Avaliar em x_0=1:
f(1)=0,\qquad f'(1)=1,\qquad f''(1)=-1,\qquad f^{(3)}(1)=2.
Expliquei: f'(1)=1 significa a inclinação da reta tangente em x=1; f''(1)=-1 informa a curvatura ali; usamos esses números nos coeficientes do polinômio.

Passo 3

Construção dos polinômios P_1,P_2,P_3 usando a fórmula de Taylor com x_0=1:
  • Ordem 1:
P_1(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=0+1\cdot(x-1)=x-1.
  • Ordem 2:
P_2(x)=P_1(x)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 = x-1 +\frac{-1}{2}(x-1)^2 = x-1-\frac{1}{2}(x-1)^2.
  • Ordem 3:
P_3(x)=P_2(x)+\frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^3 = x-1-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{2}{6}(x-1)^3 = x-1-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3.
Resumo: os polinômios ficaram simples e fáceis de avaliar porque expandimos em torno de 1.

Passo 4

Preparar as substituições (vou chamar \delta=x-1 para facilitar):
  • Para x=0,8: \delta=-0,2.
  • Para x=1: \delta=0.
  • Para x=1,2: \delta=0,2.
  • Para x=2: \delta=1.
Agora avaliar P_1,P_2,P_3 nas quatro abscissas, fazendo as contas passo a passo (sem pular etapas).
  1. x=0,8 ( \delta=-0,2):
  • P_1(0,8)=\delta=-0,2.
  • P_2(0,8)=\delta-\tfrac{1}{2}\delta^2=-0,2-\tfrac{1}{2}(0,04)=-0,2-0,02=-0,22.
  • P_3(0,8)=P_2+\tfrac{1}{3}\delta^3=-0,22+\tfrac{1}{3}(-0,008)=-0,22-0,0026666667\approx-0,2226666667.
  1. x=1 ( \delta=0):
  • P_1(1)=0,\quad P_2(1)=0,\quad P_3(1)=0.
    (Isto era esperado porque \ln 1=0 e todos os polinômios coincidem com a função no ponto de expansão.)
  1. x=1,2 ( \delta=0,2):
  • P_1(1,2)=\delta=0,2.
  • P_2(1,2)=\delta-\tfrac{1}{2}\delta^2=0,2-\tfrac{1}{2}(0,04)=0,2-0,02=0,18.
  • P_3(1,2)=0,18+\tfrac{1}{3}(0,008)=0,18+0,0026666667\approx0,1826666667.
  1. x=2 ( \delta=1):
  • P_1(2)=1.
  • P_2(2)=1-\tfrac{1}{2}\cdot1^2=1-0,5=0,5.
  • P_3(2)=0,5+\tfrac{1}{3}\cdot1^3=0,5+0,3333333333\approx0,8333333333.

Passo 5

Valores “verdadeiros” obtidos na calculadora (para comparar) — aqui coloco as aproximações decimais:
\ln(0,8)\approx-0,2231435513,\qquad \ln(1)=0,\qquad \ln(1,2)\approx0,1823215568,\qquad \ln(2)\approx0,6931471806.
Calcular os erros absolutos (diferença entre aproximação e valor verdadeiro):
  • Para x=0,8:
    • |P_1-\ln(0,8)|\approx| -0,2 - (-0,2231435513)|=0,0231435513.
    • |P_2-\ln(0,8)|\approx| -0,22 - (-0,2231435513)|=0,0031435513.
    • |P_3-\ln(0,8)|\approx| -0,2226666667 - (-0,2231435513)|=0,0004768846.
  • Para x=1: todos os polinômios dão 0, logo erro 0.
  • Para x=1,2:
    • |P_1-\ln(1,2)|\approx|0,2-0,1823215568|=0,0176784432.
    • |P_2-\ln(1,2)|\approx|0,18-0,1823215568|=0,0023215568.
    • |P_3-\ln(1,2)|\approx|0,1826666667-0,1823215568|=0,0003451102.
  • Para x=2:
    • |P_1-\ln(2)|\approx|1-0,6931471806|=0,3068528194.
    • |P_2-\ln(2)|\approx|0,5-0,6931471806|=0,1931471806.
    • |P_3-\ln(2)|\approx|0,8333333333-0,6931471806|=0,1401861527.
Observações rápidas: quanto mais próximo de x_0=1 (pequeno |\delta|), melhor a aproximação com poucos termos; para x=2 ( \delta=1) os erros já são relativamente grandes, então é preciso mais termos para boa precisão.

Passo 6

Breve comentário sobre resto de Taylor (útil na prova):
  • A forma de Lagrange do resto é
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-1)^{n+1}
para algum \xi entre 1 e x. Isso diz que o erro depende da derivada de ordem n+1 avaliada em algum ponto entre 1 e x e cresce com |x-1|^{\,n+1}.
  • Exemplo de uso prático: para n=3 e x no intervalo [0,8,2] pode-se boundear |f^{(4)}(\xi)|=6/\xi^4 por 6/(0,8)^4 se quiser uma cota grosseira do erro. A cota costuma ser pessimista, mas mostra por que o erro aumenta para valores mais distantes de 1.

Passo 7

Pequena motivação final: você viu passo a passo como montar as derivadas, montar os polinômios e avaliar numericamente sem pular contas — exatamente o que é cobrado numa prova. Se quiser, eu refaço as contas com mais casas decimais, faço a cota do resto para cada ponto ou mostro como usar mais termos para melhorar a aproximação (por exemplo, obter \ln 2 com erro abaixo de 10^{-4}). Força aí — dá pra fazer isso!

Resposta

P_1(x)=x-1
P_2(x)=x-1-\dfrac{1}{2}(x-1)^2
P_3(x)=x-1-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{1}{3}(x-1)^3
\ln(0,8):\\ P_1=-0,2,\\ P_2=-0,22,\\ P_3\approx-0,2226666667,\\ \text{verdadeiro}\approx-0,2231435513
\ln(1):\\ P_1=0,\\ P_2=0,\\ P_3=0,\\ \text{verdadeiro}=0
\ln(1,2):\\ P_1=0,2,\\ P_2=0,18,\\ P_3\approx0,1826666667,\\ \text{verdadeiro}\approx0,1823215568
\ln(2):\\ P_1=1,\\ P_2=0,5,\\ P_3\approx0,8333333333,\\ \text{verdadeiro}\approx0,6931471806

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