Compute os polinômios de Taylor de graus 1, 2 e 3 da função y=\sqrt{x+1} no ponto x_{0}=0 e use-os para aproximar os valores de \sqrt{0,8}, \sqrt{1}, \sqrt{1,2} e \sqrt{2}, comparando estes resultados com os obtidos em uma calculadora.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular os polinômios de Taylor de graus 1, 2 e 3 da função y=\sqrt{x+1} centrados em x_{0}=0.
  • Usar esses polinômios para aproximar \sqrt{0,8}, \sqrt{1}, \sqrt{1,2} e \sqrt{2} e comparar com os valores da calculadora.
Informações relevantes dadas:
  • A função é y(x)=\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}.
  • O ponto de expansão é x_{0}=0.
  • Para aproximar \sqrt{a} via y(x)=\sqrt{x+1} devemos escolher x tal que x+1=a. Assim:
    • Para \sqrt{0,8} escolhemos x=-0,2 porque -0,2+1=0,8.
    • Para \sqrt{1} escolhemos x=0.
    • Para \sqrt{1,2} escolhemos x=0,2.
    • Para \sqrt{2} escolhemos x=1.

Passo 2

Lembrete sobre polinômio de Taylor (aula rápida e prática):
  • O polinômio de Taylor de ordem n de uma função f centrado em x_{0} é
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}.
  • Aqui f^{(k)}(x_{0}) é a k-ésima derivada avaliada em x_{0} e k! é o fatorial de k.
  • No nosso caso x_{0}=0, então (x-x_{0})^{k}=x^{k}.
  • Intuição curta: usamos as derivadas em x_{0} para construir um polinômio que “combina” valor, inclinação, curvatura etc. da função em x_{0}; quanto maior a ordem, mais termos e melhor aproximação perto de x_{0}.

Passo 3

Calcular derivadas de y(x)=(x+1)^{1/2} e avaliá‑las em x_{0}=0. Vou mostrar passo a passo as derivadas e o que cada símbolo significa.
Função:
y(x)=(x+1)^{1/2}.
Derivada primeira (regra da potência): se g(x)=(x+1)^{\alpha} então g'(x)=\alpha (x+1)^{\alpha-1}. Aplicando com \alpha=\tfrac{1}{2}:
y'(x)=\tfrac{1}{2}(x+1)^{-1/2}.
Derivada segunda (derivar y'(x)):
y''(x)=\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})(x+1)^{-3/2}=-\tfrac{1}{4}(x+1)^{-3/2}.
Derivada terceira:
y^{(3)}(x)=-\tfrac{1}{4}\cdot(-\tfrac{3}{2})(x+1)^{-5/2}=\tfrac{3}{8}(x+1)^{-5/2}.
Agora avalio em x_{0}=0 (isto é, substituo x=0 em cada derivada):
y(0)=(0+1)^{1/2}=1,
y'(0)=\tfrac{1}{2}(1)^{-1/2}=\tfrac{1}{2},
y''(0)=-\tfrac{1}{4}(1)^{-3/2}=-\tfrac{1}{4},
y^{(3)}(0)=\tfrac{3}{8}(1)^{-5/2}=\tfrac{3}{8}.

Passo 4

Formar os coeficientes dos polinômios usando \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}.
Calculemos cada coeficiente:
  • k=0:\\ \dfrac{y(0)}{0!}=\dfrac{1}{1}=1.
  • k=1:\\ \dfrac{y'(0)}{1!}=\dfrac{1/2}{1}=\tfrac{1}{2}.
  • k=2:\\ \dfrac{y''(0)}{2!}=\dfrac{-1/4}{2}=-\tfrac{1}{8}. (note que 2!=2)
  • k=3:\\ \dfrac{y^{(3)}(0)}{3!}=\dfrac{3/8}{6}=\dfrac{3}{48}=\tfrac{1}{16}. (pois 3!=6)

Passo 5

Escrever os polinômios de Taylor pedidos (cada fórmula é um polinômio em x):
Polinômio de grau 1:
T_{1}(x)=1+\tfrac{1}{2}x.
Polinômio de grau 2:
T_{2}(x)=1+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{8}x^{2}.
Polinômio de grau 3:
T_{3}(x)=1+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{1}{16}x^{3}.
Comentário rápido: esses são truncamentos da série de Taylor de (1+x)^{1/2} centrada em 0. Eles funcionam bem para x próximo de 0.

Passo 6

Preparar os pontos onde vamos avaliar os polinômios (lembrando y(x)=\sqrt{x+1}):
  • Para \sqrt{0,8} usamos x=-0,2.
  • Para \sqrt{1} usamos x=0.
  • Para \sqrt{1,2} usamos x=0,2.
  • Para \sqrt{2} usamos x=1.
Vou calcular T_{1},T_{2},T_{3} em cada um desses x de modo a ficar claro como avaliar na prova (faça as potências e multiplique pelos coeficientes).

Passo 7

Avaliações passo a passo e aproximações (contas explícitas, sem pular etapas).
  1. Para \sqrt{0,8}, x=-0,2.
  • x^{2}=(-0,2)^{2}=0,04.
  • x^{3}=(-0,2)^{3}=-0,008.
Avaliar:
T_{1}(-0,2)=1+\tfrac{1}{2}(-0,2)=1-0,1=0,9.
T_{2}(-0,2)=0,9-\tfrac{1}{8}\cdot 0,04=0,9-0,005=0,895.
T_{3}(-0,2)=0,895+\tfrac{1}{16}\cdot(-0,008)=0,895-0,0005=0,8945.
Valor exato (calculadora): \sqrt{0,8}\approx 0,894427191.
Erros absolutos (diferença entre aproximação e calculadora):
  • |T_{1}-\text{exato}|=|0,900000-0,894427191|=0,005572809.
  • |T_{2}-\text{exato}|=|0,895000-0,894427191|=0,000572809.
  • |T_{3}-\text{exato}|=|0,894500-0,894427191|=0,000072809.
  1. Para \sqrt{1}, x=0.
  • Trivialmente T_{1}(0)=T_{2}(0)=T_{3}(0)=1.
    Valor exato: \sqrt{1}=1. Erro = 0 para todos (porque a expansão foi centrada em 0).
  1. Para \sqrt{1,2}, x=0,2.
  • x^{2}=0,04.
  • x^{3}=0,008.
Avaliar:
T_{1}(0,2)=1+\tfrac{1}{2}\cdot 0,2=1+0,1=1,1.
T_{2}(0,2)=1,1-\tfrac{1}{8}\cdot 0,04=1,1-0,005=1,095.
T_{3}(0,2)=1,095+\tfrac{1}{16}\cdot 0,008=1,095+0,0005=1,0955.
Valor exato (calculadora): \sqrt{1,2}\approx 1,095445115.
Erros absolutos:
  • |T_{1}-\text{exato}|=|1,100000-1,095445115|=0,004554885.
  • |T_{2}-\text{exato}|=|1,095000-1,095445115|=0,000445115.
  • |T_{3}-\text{exato}|=|1,095500-1,095445115|=0,000054885.
  1. Para \sqrt{2}, x=1.
  • x^{2}=1.
  • x^{3}=1.
Avaliar:
T_{1}(1)=1+\tfrac{1}{2}\cdot 1=1,5.
T_{2}(1)=1,5-\tfrac{1}{8}\cdot 1=1,5-0,125=1,375.
T_{3}(1)=1,375+\tfrac{1}{16}\cdot 1=1,375+0,0625=1,4375.
Valor exato (calculadora): \sqrt{2}\approx 1,414213562.
Erros absolutos:
  • |T_{1}-\text{exato}|=|1,500000-1,414213562|=0,085786438.
  • |T_{2}-\text{exato}|=|1,375000-1,414213562|=0,039213562.
  • |T_{3}-\text{exato}|=|1,437500-1,414213562|=0,023286438.

Passo 8

Interpretação e dicas para prova (resumão didático e prático):
  • Os polinômios funcionam bem para x perto de 0. Note que para \sqrt{0,8} e \sqrt{1,2} (ou seja x=\pm 0,2) o erro já é pequeno com T_{3} (da ordem de 10^{-4} ou menor).
  • Para \sqrt{2} temos x=1, que está no limite do raio de convergência da série de (1+x)^{1/2} (o ponto singular é em x=-1, logo o raio de convergência é 1). Isso explica por que a aproximação em x=1 não é tão boa: estamos mais longe do ponto de expansão e, além disso, estamos exatamente na fronteira da região onde a série converge bem.
  • Técnica prática para a prova: calcule as derivadas até a ordem pedida em x_{0}; escreva os coeficientes f^{(k)}(x_{0})/k!; forme T_{n} e avalie substituindo x. Faça as potências x^{2},x^{3} manualmente para evitar erros de cálculo.
  • Se for pedir estimativa de erro, pode usar o resto de Lagrange; para esta função e pequenos x é suficiente verificar o tamanho do termo seguinte na série para ter noção do erro.

Resposta

T_{1}(x)=1+\tfrac{1}{2}x
T_{2}(x)=1+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{8}x^{2}
T_{3}(x)=1+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{1}{16}x^{3}
\sqrt{0,8} \approx T_{1}(-0,2)=0,900000,\\ T_{2}(-0,2)=0,895000,\\ T_{3}(-0,2)=0,894500 \quad (valor calculadora \approx 0,894427191)
\sqrt{1} \approx T_{1}(0)=T_{2}(0)=T_{3}(0)=1 \quad (valor calculadora =1)
\sqrt{1,2} \approx T_{1}(0,2)=1,100000,\\ T_{2}(0,2)=1,095000,\\ T_{3}(0,2)=1,095500 \quad (valor calculadora \approx 1,095445115)
\sqrt{2} \approx T_{1}(1)=1,500000,\\ T_{2}(1)=1,375000,\\ T_{3}(1)=1,437500 \quad (valor calculadora \approx 1,414213562)

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