Compute os polinômios de Taylor de graus 1, 2 e 3 da função
no ponto
e use-os para aproximar os valores de
e
, comparando estes resultados com os obtidos em uma calculadora.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular os polinômios de Taylor de graus 1, 2 e 3 da função
centrados em . - Usar esses polinômios para aproximar
, , e e comparar com os valores da calculadora.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto de expansão é
. - Para aproximar
via devemos escolher tal que . Assim: - Para
escolhemos porque . - Para
escolhemos . - Para
escolhemos . - Para
escolhemos .
- Para
Passo 2
Lembrete sobre polinômio de Taylor (aula rápida e prática):
- O polinômio de Taylor de ordem
de uma função centrado em é
- Aqui
é a -ésima derivada avaliada em e é o fatorial de . - No nosso caso
, então . - Intuição curta: usamos as derivadas em
para construir um polinômio que “combina” valor, inclinação, curvatura etc. da função em ; quanto maior a ordem, mais termos e melhor aproximação perto de .
Passo 3
Calcular derivadas de
e avaliá‑las em
. Vou mostrar passo a passo as derivadas e o que cada símbolo significa.
Função:
Derivada primeira (regra da potência): se
então
. Aplicando com
:
Derivada segunda (derivar
):
Derivada terceira:
Agora avalio em
(isto é, substituo
em cada derivada):
Passo 4
Formar os coeficientes dos polinômios usando
.
Calculemos cada coeficiente:
-
-
-
(note que ) -
(pois )
Passo 5
Escrever os polinômios de Taylor pedidos (cada fórmula é um polinômio em
):
Polinômio de grau 1:
Polinômio de grau 2:
Polinômio de grau 3:
Comentário rápido: esses são truncamentos da série de Taylor de
centrada em
. Eles funcionam bem para
próximo de
.
Passo 6
Preparar os pontos onde vamos avaliar os polinômios (lembrando
):
- Para
usamos . - Para
usamos . - Para
usamos . - Para
usamos .
Vou calcular
em cada um desses
de modo a ficar claro como avaliar na prova (faça as potências e multiplique pelos coeficientes).
Passo 7
Avaliações passo a passo e aproximações (contas explícitas, sem pular etapas).
- Para
, .
-
. -
.
Avaliar:
Valor exato (calculadora):
.
Erros absolutos (diferença entre aproximação e calculadora):
- Para
, .
- Trivialmente
.
Valor exato:. Erro = para todos (porque a expansão foi centrada em ).
- Para
, .
-
. -
.
Avaliar:
Valor exato (calculadora):
.
Erros absolutos:
- Para
, .
-
. -
.
Avaliar:
Valor exato (calculadora):
.
Erros absolutos:
Passo 8
Interpretação e dicas para prova (resumão didático e prático):
- Os polinômios funcionam bem para
perto de . Note que para e (ou seja ) o erro já é pequeno com (da ordem de ou menor). - Para
temos , que está no limite do raio de convergência da série de (o ponto singular é em , logo o raio de convergência é ). Isso explica por que a aproximação em não é tão boa: estamos mais longe do ponto de expansão e, além disso, estamos exatamente na fronteira da região onde a série converge bem. - Técnica prática para a prova: calcule as derivadas até a ordem pedida em
; escreva os coeficientes ; forme e avalie substituindo . Faça as potências manualmente para evitar erros de cálculo. - Se for pedir estimativa de erro, pode usar o resto de Lagrange; para esta função e pequenos
é suficiente verificar o tamanho do termo seguinte na série para ter noção do erro.