Compute the de Broglie wavelengths of
an alpha particle of 4.5-\mathrm{keV} kinetic energy.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda de Broglie de uma partícula \alpha com energia cinética E_k=4{,}5 keV. O conteúdo envolve dualidade onda-partícula e a fórmula
\lambda = \frac{h}{p},
onde o momento p de uma partícula não-relativística relaciona-se com sua energia cinética por
p = \sqrt{2\,m\,E_k}.

Passo 2

Primeiro convertemos E_k de keV para joule e calculamos a massa da partícula \alpha em quilogramas.
A energia cinética em joule é
E_k = 4{,}5\times10^{3}\,\mathrm{eV}\times 1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV} =7{,}209\times10^{-16}\,\mathrm{J}.
A massa de uma partícula \alpha (aproximadamente 4 u) vale
m = 4\times1{,}6605\times10^{-27}\,\mathrm{kg} =6{,}642\times10^{-27}\,\mathrm{kg}.

Passo 3

Agora calculamos o momento
p = \sqrt{2\,m\,E_k} = \sqrt{2\times6{,}642\times10^{-27}\,\mathrm{kg}\times7{,}209\times10^{-16}\,\mathrm{J}} = \sqrt{9{,}578\times10^{-42}} =3{,}095\times10^{-21}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Por fim, aplicamos \lambda = h/p com h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}:
\lambda = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{3{,}095\times10^{-21}} =2{,}14\times10^{-13}\,\mathrm{m}.

Resposta

\lambda \approx 2{,}1\times10^{-13}\,\mathrm{m}.

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