Electrons in an electron microscope are accelerated from rest through a potential difference V_{0} so that their de Broglie wavelength is 0.04 nm . What is V_{0} ?

Passo 1

O enunciado diz que elétrons, partindo do repouso, são acelerados por uma diferença de potencial V_{0} e adquirem comprimento de onda de Broglie \lambda = 0,04\\ \text{nm}. O que precisamos usar é a relação entre comprimento de onda de Broglie e momento, junto com a equivalência entre energia cinética e trabalho da tensão elétrica.

Passo 2

A relação de Broglie é
\lambda = \frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o momento do elétron. Como o elétron foi acelerado por V_{0}, sua energia cinética vale
K = e\,V_{0},
sendo e a carga elementar. Além disso, em regime não-relativístico, temos
K = \frac{p^{2}}{2m},
onde m é a massa do elétron.

Passo 3

Igualando as expressões de energia cinética, obtemos
e\,V_{0} = \frac{p^{2}}{2m} \quad\Longrightarrow\quad p = \sqrt{2\,m\,e\,V_{0}}.
Substituindo em \lambda = h/p, vem
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,e\,V_{0}}} \quad\Longrightarrow\quad V_{0} = \frac{h^{2}}{2\,m\,e\,\lambda^{2}}.

Passo 4

Agora, com os valores numéricos:
h = 6,626\times10^{-34}\\ \text{J\cdots},
m = 9,109\times10^{-31}\\ \text{kg},
e = 1,602\times10^{-19}\\ \text{C},
\lambda = 0,04\\ \text{nm} = 4,0\times10^{-11}\\ \text{m}.
Calculando
V_{0} = \frac{(6,626\times10^{-34})^{2}}{2\,\bigl(9,109\times10^{-31}\bigr)\,\bigl(1,602\times10^{-19}\bigr)\,(4,0\times10^{-11})^{2}} \approx 9,4\times10^{2}\\ \text{V}.

Resposta

V_{0}\approx 940\\ \text{V}

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