According to statistical mechanics, the average kinetic energy of a particle at temperafure T is 3 k T / 2, where k is the Boltzmann constant. What is the average de Broglie wavelength of nitrogen molecules at room temperature?

Passo 1

O enunciado pede a média do comprimento de onda de Broglie de moléculas de nitrogênio \mathrm{N}_2 a temperatura ambiente. O conteúdo é mecânica estatística (energia cinética média \tfrac32 kT) e de Broglie ( \lambda = h/p). Vamos relacionar energia cinética e momento, e depois usar a massa do \mathrm{N}_2, a constante de Boltzmann k, a temperatura T e a constante de Planck h.

Passo 2

A energia cinética média cumpre
E_{\rm cin} = \frac{p^2}{2m} = \frac32\,k\,T,
daí o módulo do momento quadrático médio é
p = \sqrt{3\,m\,k\,T}
e o comprimento de onda de Broglie médio é
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3\,m\,k\,T}}.

Passo 3

A massa de uma molécula de \mathrm{N}_2 ( M=28 u) é
m = 28\times1,66\times10^{-27}\,\mathrm{kg} = 4,65\times10^{-26}\,\mathrm{kg}.
Usando k=1,38\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}, T=300\,\mathrm{K} e h=6,626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}, temos:

Passo 4

\sqrt{3\,m\,k\,T} = \sqrt{3\times4,65\times10^{-26}\times1,38\times10^{-23}\times300} \approx 2,4\times10^{-23}\,\mathrm{kg\cdot m/s},
\lambda = \frac{6,626\times10^{-34}}{2,4\times10^{-23}} \approx 2,8\times10^{-11}\,\mathrm{m}.

Resposta

A média do comprimento de onda de Broglie das moléculas de \mathrm{N}_2 a 300\,\mathrm{K} é aproximadamente 3\times10^{-11}\,\mathrm{m}.

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