Compute the effect of the action of the commutator
on an arbitrary ket
, and projecting it back onto the momentum representation:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o efeito do comutador
agindo sobre um ket arbitrário
, e depois projetar esse resultado na representação de momento, ou seja, calcular
. Aqui, estamos lidando com conceitos de mecânica quântica, especificamente com operadores e comutadores. Para resolver isso, vamos precisar entender como os operadores de posição
e momento
se comportam e como funcionam os comutadores entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. O comutador de dois operadores
e
é definido como
. No nosso caso, temos
.
Passo 3
Sabemos que na mecânica quântica, os operadores de posição e momento obedecem à relação de comutação famosa:
onde
é a unidade imaginária e
é a constante de Planck reduzida. Essa relação é fundamental porque estabelece a base da incerteza de Heisenberg.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa relação ao comutador que temos. Substituindo, temos:
Isso significa que o comutador
age como um operador constante multiplicado por
.
Passo 5
Nosso próximo passo é aplicar esse comutador ao ket
. Então, temos:
Isso mostra que o comutador age simplesmente multiplicando o estado
por
.
Passo 6
Finalmente, queremos projetar esse resultado na representação de momento, ou seja, calcular
. Substituindo o que encontramos:
Aqui,
é a função de onda de
na representação de momento.
Resposta
Portanto, o efeito do comutador
projetado na representação de momento é: