Compute the effect of the action of the commutator [X, Px] on an arbitrary ket |psirang<=, and projecting it back onto the momentum representation: lang<=p|[X, Px]|psirang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o efeito do comutador [X, Px] agindo sobre um ket arbitrário |psirang<=, e depois projetar esse resultado na representação de momento, ou seja, calcular lang<= p|[X, Px]|psirang<=. Aqui, estamos lidando com conceitos de mecânica quântica, especificamente com operadores e comutadores. Para resolver isso, vamos precisar entender como os operadores de posição X e momento Px se comportam e como funcionam os comutadores entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. O comutador de dois operadores A e B é definido como [A, B] = AB - BA. No nosso caso, temos [X, Px] = XPx - PxX.

Passo 3

Sabemos que na mecânica quântica, os operadores de posição e momento obedecem à relação de comutação famosa:
[X, Px] = ihbar
onde i é a unidade imaginária e hbar é a constante de Planck reduzida. Essa relação é fundamental porque estabelece a base da incerteza de Heisenberg.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa relação ao comutador que temos. Substituindo, temos:
[X, Px] = ihbar
Isso significa que o comutador [X, Px] age como um operador constante multiplicado por ihbar.

Passo 5

Nosso próximo passo é aplicar esse comutador ao ket |psirang<=. Então, temos:
[X, Px] |psirang<= = ihbar |psirang<=
Isso mostra que o comutador age simplesmente multiplicando o estado |psirang<= por ihbar.

Passo 6

Finalmente, queremos projetar esse resultado na representação de momento, ou seja, calcular lang<= p|[X, Px]|psirang<=. Substituindo o que encontramos:
lang<= p|[X, Px]|psirang<= = lang<= p|ihbar |psirang<= = ihbar lang<= p|psirang<=
Aqui, lang<= p|psirang<= é a função de onda de |psirang<= na representação de momento.

Resposta

Portanto, o efeito do comutador [X, Px] projetado na representação de momento é:
lang<= p|[X, Px]|psirang<= = ihbar lang<= p|psirang<=

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